Probabilidad

Experimentos aleatorios

En nuestra vida diaria ocurren muchos acontecimientos. Algunos pueden predecirse con seguridad y otros no.

Por ejemplo:

• Si soltamos una piedra, caerá al suelo.
• Si calentamos agua suficiente tiempo, acabará hirviendo.

En estos casos conocemos de antemano lo que va a ocurrir.

Sin embargo, existen situaciones en las que no podemos saber con certeza cuál será el resultado antes de que suceda.

Por ejemplo:

• Lanzar una moneda.
• Lanzar un dado.
• Sacar una carta de una baraja.
• Extraer una bola de una bolsa sin mirar.

Estas situaciones reciben el nombre de experimentos aleatorios.

¿Qué es un experimento aleatorio?

Un experimento aleatorio es una acción o prueba cuyo resultado no puede conocerse con seguridad antes de realizarla.

Aunque conozcamos todos los resultados posibles, no sabemos cuál de ellos ocurrirá.

Por ejemplo:

Al lanzar una moneda sabemos que solo pueden ocurrir dos resultados:

• Cara.
• Cruz.

Pero no podemos saber cuál aparecerá en un lanzamiento concreto.

Resultados posibles de un experimento

Cada uno de los resultados que puede producir un experimento aleatorio se llama resultado posible.

Ejemplos:

Lanzamiento de una moneda

Resultados posibles:

• Cara.
• Cruz.

Lanzamiento de un dado

Resultados posibles:

• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6

Extracción de una bola de una bolsa

Si una bolsa contiene bolas rojas, azules y verdes, los resultados posibles son:

• Roja.
• Azul.
• Verde.

Experimentos aleatorios y no aleatorios

Observa la diferencia:

Los experimentos aleatorios tienen incertidumbre. Los no aleatorios producen siempre el resultado esperado.

Repetición de experimentos

Una característica importante de los experimentos aleatorios es que pueden repetirse muchas veces.

Si lanzamos un dado varias veces, obtendremos resultados diferentes:

Aunque los resultados cambien, las posibilidades siguen siendo las mismas:

1, 2, 3, 4, 5 y 6.

Ejemplos resueltos

Sucesos posibles, imposibles y seguros

Cuando realizamos un experimento aleatorio pueden ocurrir distintos resultados. A cada resultado o conjunto de resultados que nos interesa estudiar lo llamamos suceso.

Por ejemplo, al lanzar un dado podemos fijarnos en:

• Obtener un 6.
• Obtener un número par.
• Obtener un número mayor que 4.

Todos ellos son sucesos.

Suceso posible

Un suceso posible es aquel que puede ocurrir.

No sabemos si ocurrirá o no, pero existe la posibilidad de que suceda.

Ejemplos

Al lanzar un dado:

• Obtener un 4.
• Obtener un número impar.
• Obtener un número mayor que 2.

Todos estos sucesos son posibles porque pueden ocurrir.

Suceso imposible

Un suceso imposible es aquel que no puede ocurrir.

No existe ninguna posibilidad de que suceda.

Ejemplos

Al lanzar un dado:

• Obtener un 8.
• Obtener un número mayor que 6.
• Obtener un número negativo.

Todos estos sucesos son imposibles porque ninguno de ellos puede aparecer en un dado normal.

Suceso seguro

Un suceso seguro es aquel que siempre ocurre.

No existe ninguna posibilidad de que no suceda.

Ejemplos

Al lanzar un dado:

• Obtener un número menor que 7.
• Obtener un número positivo.
• Obtener un número entre 1 y 6.

Todos estos sucesos son seguros porque siempre se cumplen.

Comparación entre los tres tipos de sucesos

Observa los siguientes ejemplos relacionados con el lanzamiento de un dado:

Ejemplo completo

Supongamos que lanzamos un dado.

Los resultados posibles son:

1, 2, 3, 4, 5 y 6.

Podemos clasificar algunos sucesos:

• Obtener un 2 → posible.
• Obtener un 10 → imposible.
• Obtener un número menor que 7 → seguro.

De esta forma podemos analizar cualquier experimento aleatorio.

Frecuencia de un suceso

Cuando repetimos muchas veces un experimento aleatorio, algunos resultados aparecen más veces que otros.

El número de veces que ocurre un suceso recibe el nombre de frecuencia.

Por ejemplo, si lanzamos una moneda 20 veces y obtenemos 12 caras, decimos que la frecuencia del suceso "obtener cara" es 12.

Frecuencia absoluta

La frecuencia absoluta es el número de veces que ocurre un suceso.

Observa el resultado de lanzar un dado 20 veces:

La frecuencia absoluta de obtener un 4 es 5 porque el número 4 apareció cinco veces.

La frecuencia puede cambiar

En los experimentos aleatorios los resultados no siempre son iguales.

Si repetimos el mismo experimento, las frecuencias pueden variar.

Por ejemplo:

Primer experimento

Segundo experimento

Aunque los resultados son distintos, ambos experimentos son posibles.

Frecuencia y número de repeticiones

Cuando realizamos pocas repeticiones pueden aparecer diferencias importantes entre los resultados.

Sin embargo, cuando repetimos muchas veces el experimento, las frecuencias suelen hacerse más equilibradas.

Por ejemplo:

Si lanzamos una moneda:

• 10 veces, podrían salir 7 caras y 3 cruces.
• 100 veces, podrían salir 52 caras y 48 cruces.
• 1 000 veces, podrían salir 503 caras y 497 cruces.

Cuanto mayor sea el número de repeticiones, más se parecen las frecuencias de cara y cruz.

Registro de frecuencias

Para estudiar experimentos aleatorios es habitual registrar los resultados en tablas.

Ejemplo:

Se lanza una moneda 15 veces.

Podemos concluir que:

• Cara apareció 9 veces.
• Cruz apareció 6 veces.
• Cara apareció más veces que cruz en este experimento.

Ejemplos resueltos

Probabilidad intuitiva

Cuando realizamos un experimento aleatorio, algunos resultados parecen más fáciles de obtener que otros.

La probabilidad nos ayuda a expresar si un suceso es muy probable, poco probable o imposible.

¿Qué significa probable?

Un suceso es más probable cuanto más posibilidades tiene de ocurrir.

Observa estos ejemplos:

• Que salga el Sol mañana es muy probable.
• Que llueva mañana puede ser probable o poco probable, según el tiempo.
• Que una persona pueda volar moviendo los brazos es imposible.

La probabilidad nos permite comparar estas situaciones.

Situaciones cotidianas

Todos utilizamos la probabilidad sin darnos cuenta.

Por ejemplo:

• Es probable que un autobús llegue a su hora habitual.
• Es poco probable ganar un gran premio en una lotería.
• Es imposible sacar una bola azul de una bolsa que solo contiene bolas rojas.

Más probable y menos probable

Imagina una bolsa con:

• 8 bolas rojas.
• 2 bolas azules.

Si sacamos una bola sin mirar:

• Es más probable obtener una bola roja.
• Es menos probable obtener una bola azul.

Esto ocurre porque hay más bolas rojas que azules.

Sucesos equiprobables

Dos sucesos son equiprobables cuando tienen las mismas posibilidades de ocurrir.

Por ejemplo, al lanzar una moneda:

• Obtener cara.
• Obtener cruz.

Ambos resultados tienen las mismas posibilidades.

Por eso decimos que son sucesos equiprobables.

La escala de la probabilidad

Podemos imaginar la probabilidad como una escala:

La probabilidad puede situarse entre dos extremos:

• Imposible.
• Seguro.

Ejemplos resueltos

Comparación de probabilidades

No todos los sucesos tienen la misma probabilidad de ocurrir.

Algunos sucesos son más probables que otros porque tienen más posibilidades de producirse.

Comparar probabilidades consiste en decidir qué suceso tiene más posibilidades de ocurrir y cuál tiene menos.

Comparación utilizando una bolsa con bolas

Imagina una bolsa que contiene:

• 7 bolas rojas.
• 2 bolas azules.
• 1 bola verde.

Si sacamos una bola sin mirar:

• Obtener una bola roja es lo más probable.
• Obtener una bola azul es menos probable que obtener una roja.
• Obtener una bola verde es lo menos probable.

Esto ocurre porque hay más bolas rojas que azules y más bolas azules que verdes.

Podemos escribir:

Roja > Azul > Verde

en cuanto a probabilidad.

Comparación utilizando un dado

Al lanzar un dado podemos comparar distintos sucesos.

Suceso A: obtener un número par.

Resultados favorables:

2, 4 y 6

Suceso B: obtener un 6.

Resultados favorables:

6

Como el suceso A tiene más resultados favorables, es más probable.

Por tanto:

Obtener un número par es más probable que obtener un 6.

Comparación utilizando una moneda

Al lanzar una moneda:

• Obtener cara.
• Obtener cruz.

Ambos sucesos tienen las mismas posibilidades de ocurrir.

Por ello decimos que tienen la misma probabilidad o que son equiprobables.

Ordenando sucesos según su probabilidad

Observa la siguiente bolsa:

• 5 bolas amarillas.
• 3 bolas verdes.
• 2 bolas azules.

Si sacamos una bola sin mirar:

1. Bola amarilla (más probable).
2. Bola verde.
3. Bola azul (menos probable).

Para comparar probabilidades basta con observar cuántas posibilidades tiene cada resultado.

Situaciones cotidianas

También podemos comparar probabilidades en situaciones reales.

Ejemplos resueltos

Resolución de problemas sencillos de probabilidad

La probabilidad aparece en muchas situaciones de la vida cotidiana.

Para resolver problemas sencillos de probabilidad conviene seguir siempre los mismos pasos.

Método para resolver problemas

1. Identificar el experimento aleatorio.
2. Identificar los resultados posibles.
3. Analizar qué resultados favorecen el suceso que buscamos.
4. Comparar las posibilidades.
5. Expresar la conclusión utilizando el lenguaje adecuado.

Por ejemplo:

• Más probable.
• Menos probable.
• Igual de probable.
• Imposible.
• Seguro.

Problemas con bolsas y bolas

Las bolsas con bolas de distintos colores son una forma sencilla de estudiar la probabilidad.

Problemas con dados

Problemas con monedas

Interpretación de situaciones reales

La probabilidad también puede utilizarse para interpretar situaciones cotidianas.

Resumen de ideas importantes

• Un experimento aleatorio tiene resultados impredecibles.
• Los sucesos pueden ser posibles, imposibles o seguros.
• La frecuencia indica cuántas veces ocurre un resultado.
• Cuantas más posibilidades tenga un suceso, mayor será su probabilidad.
• Dos sucesos son equiprobables cuando tienen las mismas posibilidades de ocurrir.
• Podemos comparar probabilidades observando los resultados favorables.