Bloque II. Números racionales
Operaciones con fracciones
Suma de fracciones
La suma de fracciones permite reunir varias partes de una unidad en una sola fracción.
Existen dos casos principales:
- Suma de fracciones con el mismo denominador.
- Suma de fracciones con distinto denominador.
Suma de fracciones con el mismo denominador
Cuando las fracciones tienen el mismo denominador, se suman los numeradores y se conserva el denominador.
En general:
$$ \frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b} $$
¿Por qué ocurre esto?
Porque ambas fracciones están divididas en el mismo número de partes iguales.
Calcula:
$$ \frac{3}{8}+\frac{2}{8} $$
Como los denominadores son iguales:
$$ \frac{3+2}{8}=\frac{5}{8} $$
Resultado:
$$ \frac{3}{8}+\frac{2}{8}=\frac{5}{8} $$
Calcula:
$$ \frac{7}{10}+\frac{1}{10} $$
Sumamos los numeradores:
$$ \frac{7+1}{10}=\frac{8}{10} $$
La fracción puede simplificarse:
$$ \frac{8}{10}=\frac{4}{5} $$
Resultado:
$$ \frac{7}{10}+\frac{1}{10}=\frac{4}{5} $$
Suma de fracciones con distinto denominador
Cuando los denominadores son distintos, primero debemos transformar las fracciones en otras equivalentes que tengan el mismo denominador.
Para ello utilizamos el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores.
Paso 1. Buscar un denominador común
Paso 2. Transformar las fracciones en equivalentes
Paso 3. Sumar los numeradores
Paso 4. Simplificar el resultado si es posible
Calcula:
$$ \frac{1}{2}+\frac{1}{3} $$
Buscamos el mcm de 2 y 3:
$$ mcm(2,3)=6 $$
Transformamos las fracciones:
$$ \frac{1}{2}=\frac{3}{6} $$
$$ \frac{1}{3}=\frac{2}{6} $$
Ahora sumamos:
$$ \frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6} $$
Resultado:
$$ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6} $$
Calcula:
$$ \frac{3}{4}+\frac{5}{6} $$
Buscamos el mcm de 4 y 6:
$$ mcm(4,6)=12 $$
Transformamos:
$$ \frac{3}{4}=\frac{9}{12} $$
$$ \frac{5}{6}=\frac{10}{12} $$
Sumamos:
$$ \frac{9}{12}+\frac{10}{12}=\frac{19}{12} $$
El resultado es una fracción impropia.
Podemos escribirla como número mixto:
$$ \frac{19}{12}=1\frac{7}{12} $$
Resultado:
$$ \frac{3}{4}+\frac{5}{6}=\frac{19}{12} $$
o bien
$$ \frac{3}{4}+\frac{5}{6}=1\frac{7}{12} $$
Suma de números mixtos
Los números mixtos pueden transformarse en fracciones impropias antes de realizar la suma.
Calcula:
$$ 1\frac{1}{2}+2\frac{1}{4} $$
Transformamos en fracciones impropias:
$$ 1\frac{1}{2}=\frac{3}{2} $$
$$ 2\frac{1}{4}=\frac{9}{4} $$
Buscamos denominador común:
$$ \frac{3}{2}=\frac{6}{4} $$
Ahora sumamos:
$$ \frac{6}{4}+\frac{9}{4}=\frac{15}{4} $$
Pasamos a número mixto:
$$ \frac{15}{4}=3\frac{3}{4} $$
Resultado:
$$ 1\frac{1}{2}+2\frac{1}{4}=3\frac{3}{4} $$
Casos especiales
Sumar una fracción y un número natural
Todo número natural puede escribirse como una fracción de denominador 1.
Calcula:
$$ 2+\frac{3}{5} $$
Escribimos:
$$ 2=\frac{2}{1} $$
Buscamos denominador común:
$$ \frac{2}{1}=\frac{10}{5} $$
Sumamos:
$$ \frac{10}{5}+\frac{3}{5}=\frac{13}{5} $$
Resultado:
$$ 2+\frac{3}{5}=\frac{13}{5}=2\frac{3}{5} $$
Resta de fracciones
La resta de fracciones permite calcular la diferencia entre dos fracciones.
Existen dos casos principales:
- Resta de fracciones con el mismo denominador.
- Resta de fracciones con distinto denominador.
Resta de fracciones con el mismo denominador
Cuando las fracciones tienen el mismo denominador, se restan los numeradores y se conserva el denominador.
En general:
$$ \frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b} $$
¿Por qué ocurre esto?
Porque ambas fracciones están divididas en el mismo número de partes iguales.
Calcula:
$$ \frac{7}{8}-\frac{3}{8} $$
Como los denominadores son iguales:
$$ \frac{7-3}{8}=\frac{4}{8} $$
Simplificamos:
$$ \frac{4}{8}=\frac{1}{2} $$
Resultado:
$$ \frac{7}{8}-\frac{3}{8}=\frac{1}{2} $$
Calcula:
$$ \frac{9}{10}-\frac{2}{10} $$
Restamos los numeradores:
$$ \frac{9-2}{10}=\frac{7}{10} $$
Resultado:
$$ \frac{9}{10}-\frac{2}{10}=\frac{7}{10} $$
Resta de fracciones con distinto denominador
Cuando los denominadores son distintos, primero debemos transformar las fracciones en otras equivalentes que tengan el mismo denominador.
Para ello utilizamos el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores.
Paso 1. Buscar un denominador común
Paso 2. Transformar las fracciones en equivalentes
Paso 3. Restar los numeradores
Paso 4. Simplificar el resultado si es posible
Calcula:
$$ \frac{3}{4}-\frac{1}{6} $$
Buscamos el mcm de 4 y 6:
$$ mcm(4,6)=12 $$
Transformamos:
$$ \frac{3}{4}=\frac{9}{12} $$
$$ \frac{1}{6}=\frac{2}{12} $$
Restamos:
$$ \frac{9}{12}-\frac{2}{12}=\frac{7}{12} $$
Resultado:
$$ \frac{3}{4}-\frac{1}{6}=\frac{7}{12} $$
Calcula:
$$ \frac{5}{6}-\frac{1}{4} $$
Buscamos el mcm de 6 y 4:
$$ mcm(6,4)=12 $$
Transformamos:
$$ \frac{5}{6}=\frac{10}{12} $$
$$ \frac{1}{4}=\frac{3}{12} $$
Restamos:
$$ \frac{10}{12}-\frac{3}{12}=\frac{7}{12} $$
Resultado:
$$ \frac{5}{6}-\frac{1}{4}=\frac{7}{12} $$
Resta de números mixtos
Los números mixtos pueden transformarse en fracciones impropias antes de realizar la resta.
Calcula:
$$ 3\frac{1}{2}-1\frac{3}{4} $$
Transformamos en fracciones impropias:
$$ 3\frac{1}{2}=\frac{7}{2} $$
$$ 1\frac{3}{4}=\frac{7}{4} $$
Buscamos denominador común:
$$ \frac{7}{2}=\frac{14}{4} $$
Restamos:
$$ \frac{14}{4}-\frac{7}{4}=\frac{7}{4} $$
Pasamos a número mixto:
$$ \frac{7}{4}=1\frac{3}{4} $$
Resultado:
$$ 3\frac{1}{2}-1\frac{3}{4}=1\frac{3}{4} $$
Casos especiales
Restar una fracción a un número natural
Todo número natural puede escribirse como una fracción de denominador 1.
Calcula:
$$ 3-\frac{2}{5} $$
Escribimos:
$$ 3=\frac{3}{1} $$
Buscamos denominador común:
$$ \frac{3}{1}=\frac{15}{5} $$
Restamos:
$$ \frac{15}{5}-\frac{2}{5}=\frac{13}{5} $$
Pasamos a número mixto:
$$ \frac{13}{5}=2\frac{3}{5} $$
Resultado:
$$ 3-\frac{2}{5}=2\frac{3}{5} $$
Multiplicación de fracciones
La multiplicación de fracciones permite calcular una parte de otra parte.
A diferencia de la suma y la resta, no es necesario buscar un denominador común.
Multiplicación de dos fracciones
Para multiplicar dos fracciones:
- Se multiplican los numeradores entre sí.
- Se multiplican los denominadores entre sí.
En general:
$$ \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}= \frac{a\cdot c}{b\cdot d} $$
Calcula:
$$ \frac{2}{3}\cdot\frac{4}{5} $$
Multiplicamos los numeradores:
$$ 2\cdot4=8 $$
Multiplicamos los denominadores:
$$ 3\cdot5=15 $$
Resultado:
$$ \frac{2}{3}\cdot\frac{4}{5}= \frac{8}{15} $$
Calcula:
$$ \frac{3}{7}\cdot\frac{2}{9} $$
Multiplicamos los numeradores:
$$ 3\cdot2=6 $$
Multiplicamos los denominadores:
$$ 7\cdot9=63 $$
Obtenemos:
$$ \frac{6}{63} $$
Simplificamos:
$$ \frac{6}{63}=\frac{2}{21} $$
Resultado:
$$ \frac{3}{7}\cdot\frac{2}{9}= \frac{2}{21} $$
Simplificación antes de multiplicar
Muchas veces podemos simplificar antes de realizar la multiplicación.
Esto hace que los cálculos sean más sencillos.
Calcula:
$$ \frac{4}{9}\cdot\frac{3}{8} $$
Observamos que:
$$ 4 \text{ y } 8 $$
son divisibles entre 4.
Además:
$$ 3 \text{ y } 9 $$
son divisibles entre 3.
Simplificamos:
$$ \frac{4}{9}\cdot\frac{3}{8} = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2} $$
Multiplicamos:
$$ \frac{1\cdot1}{3\cdot2} = \frac{1}{6} $$
Resultado:
$$ \frac{4}{9}\cdot\frac{3}{8} = \frac{1}{6} $$
Multiplicación de una fracción por un número natural
Todo número natural puede escribirse como una fracción de denominador 1.
Calcula:
$$ 3\cdot\frac{2}{5} $$
Escribimos:
$$ 3=\frac{3}{1} $$
Multiplicamos:
$$ \frac{3}{1}\cdot\frac{2}{5} = \frac{6}{5} $$
Pasamos a número mixto:
$$ \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} $$
Resultado:
$$ 3\cdot\frac{2}{5} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} $$
Calcula:
$$ 7\cdot\frac{3}{4} $$
Multiplicamos:
$$ \frac{7}{1}\cdot\frac{3}{4} = \frac{21}{4} $$
Pasamos a número mixto:
$$ \frac{21}{4} = 5\frac{1}{4} $$
Resultado:
$$ 7\cdot\frac{3}{4} = 5\frac{1}{4} $$
Multiplicación de números mixtos
Antes de multiplicar, transformamos los números mixtos en fracciones impropias.
Calcula:
$$ 1\frac{1}{2}\cdot2\frac{1}{3} $$
Transformamos:
$$ 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2} $$
$$ 2\frac{1}{3} = \frac{7}{3} $$
Multiplicamos:
$$ \frac{3}{2}\cdot\frac{7}{3} = \frac{21}{6} $$
Simplificamos:
$$ \frac{21}{6} = \frac{7}{2} $$
Pasamos a número mixto:
$$ \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} $$
Resultado:
$$ 1\frac{1}{2}\cdot2\frac{1}{3} = 3\frac{1}{2} $$
Fracción de una cantidad
Multiplicar una fracción por una cantidad permite calcular una parte de esa cantidad.
Calcula:
$$ \frac{3}{5} $$
de 40.
Multiplicamos:
$$ \frac{3}{5}\cdot40 $$
Escribimos:
$$ 40=\frac{40}{1} $$
Entonces:
$$ \frac{3}{5}\cdot\frac{40}{1} = \frac{120}{5} = 24 $$
Resultado:
$$ \frac{3}{5} \text{ de } 40 = 24 $$
División de fracciones
La división de fracciones permite repartir una cantidad o averiguar cuántas veces una fracción está contenida en otra.
Inversa de una fracción
Antes de aprender a dividir fracciones debemos conocer el concepto de fracción inversa.
La inversa de una fracción se obtiene intercambiando el numerador y el denominador.
Ejemplos:
| Fracción | Fracción inversa |
|---|---|
| $\frac{2}{3}$ | $\frac{3}{2}$ |
| $\frac{5}{7}$ | $\frac{7}{5}$ |
| $\frac{4}{9}$ | $\frac{9}{4}$ |
Observa que una fracción y su inversa tienen los números colocados en posiciones opuestas.
División de dos fracciones
Para dividir dos fracciones:
- Se escribe la primera fracción.
- Se sustituye la división por una multiplicación.
- Se reemplaza la segunda fracción por su inversa.
- Se realiza la multiplicación.
En general:
$$ \frac{a}{b}\div\frac{c}{d} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c} $$
Calcula:
$$ \frac{2}{3}\div\frac{4}{5} $$
Conservamos la primera fracción:
$$ \frac{2}{3} $$
Sustituimos la división por una multiplicación:
$$ \frac{2}{3}\cdot $$
Invertimos la segunda fracción:
$$ \frac{5}{4} $$
Multiplicamos:
$$ \frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4} = \frac{10}{12} $$
Simplificamos:
$$ \frac{10}{12} = \frac{5}{6} $$
Resultado:
$$ \frac{2}{3}\div\frac{4}{5} = \frac{5}{6} $$
Calcula:
$$ \frac{3}{8}\div\frac{1}{4} $$
Invertimos la segunda fracción:
$$ \frac{1}{4} \rightarrow \frac{4}{1} $$
Multiplicamos:
$$ \frac{3}{8}\cdot\frac{4}{1} = \frac{12}{8} $$
Simplificamos:
$$ \frac{12}{8} = \frac{3}{2} $$
Pasamos a número mixto:
$$ \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} $$
Resultado:
$$ \frac{3}{8}\div\frac{1}{4} = 1\frac{1}{2} $$
Simplificación antes de dividir
Al igual que ocurre en la multiplicación, muchas veces podemos simplificar antes de realizar los cálculos.
Recuerda que dividir una fracción equivale a multiplicar por la inversa de la segunda fracción.
Calcula:
$$ \frac{9}{10}\div\frac{3}{5} $$
Transformamos la división en una multiplicación:
$$ \frac{9}{10}\cdot\frac{5}{3} $$
Simplificamos:
$$ 9 \div 3 = 3 $$
$$ 10 \div 5 = 2 $$
Queda:
$$ \frac{3}{2} $$
Resultado:
$$ \frac{9}{10}\div\frac{3}{5} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} $$
División de una fracción por un número natural
Todo número natural puede escribirse como una fracción de denominador 1.
Calcula:
$$ \frac{3}{5}\div2 $$
Escribimos:
$$ 2=\frac{2}{1} $$
Aplicamos la regla:
$$ \frac{3}{5}\div\frac{2}{1} = \frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2} $$
Multiplicamos:
$$ \frac{3}{10} $$
Resultado:
$$ \frac{3}{5}\div2 = \frac{3}{10} $$
División de un número natural por una fracción
Calcula:
$$ 4\div\frac{2}{3} $$
Escribimos:
$$ 4=\frac{4}{1} $$
Invertimos la segunda fracción:
$$ \frac{2}{3} \rightarrow \frac{3}{2} $$
Multiplicamos:
$$ \frac{4}{1}\cdot\frac{3}{2} = \frac{12}{2} = 6 $$
Resultado:
$$ 4\div\frac{2}{3} = 6 $$
División de números mixtos
Antes de dividir, transformamos los números mixtos en fracciones impropias.
Calcula:
$$ 2\frac{1}{4}\div1\frac{1}{2} $$
Transformamos:
$$ 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4} $$
$$ 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2} $$
Aplicamos la regla:
$$ \frac{9}{4}\div\frac{3}{2} = \frac{9}{4}\cdot\frac{2}{3} $$
Multiplicamos:
$$ \frac{18}{12} $$
Simplificamos:
$$ \frac{18}{12} = \frac{3}{2} $$
Pasamos a número mixto:
$$ \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} $$
Resultado:
$$ 2\frac{1}{4}\div1\frac{1}{2} = 1\frac{1}{2} $$
Regla para recordar la división de fracciones
Para dividir fracciones:
- Se conserva la primera fracción.
- Se cambia la división por una multiplicación.
- Se invierte la segunda fracción.
- Se multiplica.
Muchos alumnos recuerdan esta regla así:
Conservo, cambio e invierto.
Operaciones combinadas con fracciones
Cuando en una expresión aparecen varias operaciones, no podemos resolverlas en cualquier orden.
Debemos respetar la jerarquía de operaciones.
Jerarquía de operaciones
El orden correcto es:
- Paréntesis.
- Multiplicaciones y divisiones.
- Sumas y restas.
Si varias operaciones tienen la misma prioridad, se resuelven de izquierda a derecha.
Calcula:
$$ \frac{1}{2}+\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3} $$
Primero realizamos la multiplicación:
$$ \frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $$
La expresión queda:
$$ \frac{1}{2}+\frac{1}{2} $$
Sumamos:
$$ \frac{1}{2}+\frac{1}{2} = \frac{2}{2} = 1 $$
Resultado:
$$ \frac{1}{2}+\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3} = 1 $$
Uso de paréntesis
Los paréntesis tienen prioridad sobre cualquier otra operación.
Calcula:
$$ \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)\cdot\frac{2}{3} $$
Primero resolvemos el paréntesis:
$$ \frac{1}{2}+\frac{1}{4} = \frac{2}{4}+\frac{1}{4} = \frac{3}{4} $$
La expresión queda:
$$ \frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3} $$
Multiplicamos:
$$ \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $$
Resultado:
$$ \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)\cdot\frac{2}{3} = \frac{1}{2} $$
Operaciones con varias fracciones
Cuando aparecen varias sumas o varias restas, resolvemos de izquierda a derecha.
Calcula:
$$ \frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{2} $$
Buscamos un denominador común:
$$ mcm(3,6,2)=6 $$
Transformamos las fracciones:
$$ \frac{1}{3}=\frac{2}{6} $$
$$ \frac{1}{6}=\frac{1}{6} $$
$$ \frac{1}{2}=\frac{3}{6} $$
Sumamos:
$$ \frac{2}{6}+\frac{1}{6}+\frac{3}{6} = \frac{6}{6} = 1 $$
Resultado:
$$ \frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{2} = 1 $$
Combinación de suma, resta, multiplicación y división
Calcula:
$$ \frac{3}{4}-\frac{1}{2}\div\frac{2}{3} $$
Primero realizamos la división:
$$ \frac{1}{2}\div\frac{2}{3} = \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2} = \frac{3}{4} $$
La expresión queda:
$$ \frac{3}{4}-\frac{3}{4} $$
Restamos:
$$ \frac{3}{4}-\frac{3}{4} = 0 $$
Resultado:
$$ \frac{3}{4}-\frac{1}{2}\div\frac{2}{3} = 0 $$
Expresión completa
Calcula:
$$ \left(\frac{2}{5}+\frac{1}{10}\right)\cdot\frac{3}{2} -\frac{1}{4} $$
Primero resolvemos el paréntesis:
$$ \frac{2}{5} = \frac{4}{10} $$
$$ \frac{4}{10}+\frac{1}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} $$
La expresión queda:
$$ \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2} -\frac{1}{4} $$
Realizamos la multiplicación:
$$ \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2} = \frac{3}{4} $$
La expresión queda:
$$ \frac{3}{4}-\frac{1}{4} $$
Restamos:
$$ \frac{3}{4}-\frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$
Resultado:
$$ \left(\frac{2}{5}+\frac{1}{10}\right)\cdot\frac{3}{2} -\frac{1}{4} = \frac{1}{2} $$
Resolución de problemas
Las fracciones aparecen en muchas situaciones cotidianas. Para resolver problemas con fracciones debemos:
- Leer atentamente el enunciado.
- Identificar los datos importantes.
- Determinar qué operación debemos realizar.
- Resolver la operación.
- Comprobar que la respuesta tiene sentido.
Problema de suma de fracciones
En una carrera, Laura recorrió por la mañana $\frac{3}{8}$ del circuito y por la tarde recorrió $\frac{2}{8}$ del circuito.
¿Qué fracción del circuito recorrió en total?
Sumamos las fracciones:
$$ \frac{3}{8}+\frac{2}{8} = \frac{5}{8} $$
Respuesta:
Laura recorrió $\frac{5}{8}$ del circuito.
Problema de resta de fracciones
Una botella estaba llena hasta los $\frac{7}{10}$ de su capacidad. Se consumieron $\frac{3}{10}$ de la capacidad total.
¿Cuánta capacidad queda ocupada?
Restamos:
$$ \frac{7}{10}-\frac{3}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} $$
Respuesta:
Queda ocupada $\frac{2}{5}$ de la capacidad de la botella.
Problema de multiplicación de fracciones
Una cuerda mide 24 metros.
Se corta un trozo que representa $\frac{3}{8}$ de su longitud.
¿Cuántos metros mide el trozo cortado?
Calculamos:
$$ \frac{3}{8}\cdot24 = \frac{72}{8} = 9 $$
Respuesta:
El trozo cortado mide 9 metros.
Problema de división de fracciones
Ana tiene $\frac{3}{4}$ de litro de zumo.
Quiere repartirlo en vasos de $\frac{1}{8}$ de litro cada uno.
¿Cuántos vasos puede llenar?
Calculamos:
$$ \frac{3}{4}\div\frac{1}{8} = \frac{3}{4}\cdot\frac{8}{1} = \frac{24}{4} = 6 $$
Respuesta:
Puede llenar 6 vasos.
Problema de operaciones combinadas
Un ciclista recorrió por la mañana $\frac{1}{3}$ de una ruta y por la tarde recorrió $\frac{1}{4}$ de la misma ruta.
Al día siguiente recorrió la mitad de lo que había recorrido por la tarde.
¿Qué fracción de la ruta recorrió en total?
Primero calculamos lo recorrido el segundo día:
$$ \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4} = \frac{1}{8} $$
Ahora sumamos las tres partes:
$$ \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} $$
Buscamos un denominador común:
$$ mcm(3,4,8)=24 $$
Transformamos:
$$ \frac{1}{3} = \frac{8}{24} $$
$$ \frac{1}{4} = \frac{6}{24} $$
$$ \frac{1}{8} = \frac{3}{24} $$
Sumamos:
$$ \frac{8}{24} + \frac{6}{24} + \frac{3}{24} = \frac{17}{24} $$
Respuesta:
El ciclista recorrió
$$ \frac{17}{24} $$
de la ruta.