Bloque IV. Geometría
Geometría plana
Rectas, semirrectas y segmentos
La geometría plana estudia las figuras que podemos representar sobre una superficie plana.
Para comenzar, es importante conocer tres elementos fundamentales: la recta, la semirrecta y el segmento.
La recta
Una recta es una línea que se extiende indefinidamente en ambos sentidos.
No tiene principio ni final.
Se representa mediante una línea recta con flechas en los dos extremos.
La recta puede nombrarse utilizando dos puntos que pertenezcan a ella.
Por ejemplo, la recta que pasa por los puntos A y B se puede representar como:
$$ \overleftrightarrow{AB} $$
Características de una recta:
- Tiene una sola dimensión: longitud.
- No tiene grosor.
- Es infinita en ambos sentidos.
- Contiene infinitos puntos.
La semirrecta
Una semirrecta es cada una de las dos partes en las que un punto divide una recta.
Tiene un origen, pero no tiene final.
Se prolonga indefinidamente en un único sentido.
En la imagen anterior, la semirrecta tiene origen en el punto A y pasa por el punto B.
Se representa como:
$$ \overrightarrow{AB} $$
Características de una semirrecta:
- Tiene un punto de origen.
- No tiene punto final.
- Es infinita en un sentido.
El segmento
Un segmento es la parte de una recta comprendida entre dos puntos.
A diferencia de la recta y la semirrecta, el segmento tiene principio y final.
En la imagen anterior, el segmento tiene extremos A y B.
Se representa como:
$$ \overline{AB} $$
Características de un segmento:
- Tiene dos extremos.
- Tiene longitud determinada.
- Puede medirse con una regla.
Longitud de un segmento
La distancia entre los extremos de un segmento recibe el nombre de longitud del segmento.
Por ejemplo, si la distancia entre A y B es de 5 cm, diremos que:
$$ AB = 5\text{ cm} $$
Los segmentos permiten medir distancias y construir figuras geométricas.
Comparación entre recta, semirrecta y segmento
| Elemento | Tiene origen | Tiene final | Puede medirse |
|---|---|---|---|
| Recta | No | No | No |
| Semirrecta | Sí | No | No |
| Segmento | Sí | Sí | Sí |
Ejemplo resuelto
Observa una carretera recta que continúa hasta donde alcanza la vista.
- Si imaginamos que continúa indefinidamente en ambos sentidos, representa una recta.
- Si partimos de una ciudad y seguimos siempre en la misma dirección, representa una semirrecta.
- Si consideramos únicamente el tramo comprendido entre dos ciudades, representa un segmento.
Posiciones relativas de rectas
Dos o más rectas pueden relacionarse entre sí de distintas formas según su posición en el plano.
Las posiciones más importantes que estudiaremos son las rectas paralelas, las rectas secantes y las rectas perpendiculares.
Rectas paralelas
Dos rectas son paralelas cuando mantienen siempre la misma distancia entre ellas y nunca llegan a cortarse, aunque se prolonguen indefinidamente.
Características:
- No tienen ningún punto en común.
- Mantienen siempre la misma separación.
- Se representan mediante el símbolo $\parallel$.
Por ejemplo:
$$ r \parallel s $$
Algunos ejemplos de rectas paralelas en la vida cotidiana son:
- Los raíles de una vía de tren.
- Los bordes opuestos de una regla.
- Las líneas de un cuaderno.
Rectas secantes
Dos rectas son secantes cuando se cortan en un punto.
Ese punto común recibe el nombre de punto de intersección.
Características:
- Tienen un único punto en común.
- Forman cuatro ángulos al cortarse.
Por ejemplo:
Dos carreteras que se cruzan forman rectas secantes.
Rectas perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares cuando se cortan formando cuatro ángulos rectos.
Un ángulo recto mide exactamente:
$$ 90^\circ $$
Características:
- Son rectas secantes.
- Forman cuatro ángulos rectos.
- Se representan mediante el símbolo $\perp$.
Por ejemplo:
$$ r \perp s $$
Algunos ejemplos de rectas perpendiculares son:
- Dos lados consecutivos de una hoja de papel.
- Una pared y el suelo de una habitación.
- Los ejes de coordenadas.
Relación entre rectas secantes y perpendiculares
Todas las rectas perpendiculares son secantes porque se cortan en un punto.
Sin embargo, no todas las rectas secantes son perpendiculares, ya que pueden formar ángulos distintos de $90^\circ$.
Ejemplo resuelto
Observa las siguientes situaciones:
- Los raíles de una vía de tren representan rectas paralelas.
- Dos calles que se cruzan representan rectas secantes.
- El borde vertical y el borde horizontal de una ventana representan rectas perpendiculares.
Identificar estas relaciones nos ayuda a reconocer elementos geométricos en nuestro entorno.
Ángulos y su medida
Cuando dos semirrectas tienen el mismo origen forman un ángulo.
El punto común donde comienzan las dos semirrectas se llama vértice del ángulo.
Las semirrectas reciben el nombre de lados del ángulo.
En la imagen anterior:
- O es el vértice.
- OA es un lado del ángulo.
- OB es el otro lado del ángulo.
¿Qué mide un ángulo?
La medida de un ángulo indica cuánto ha girado una semirrecta respecto a otra.
Los ángulos se miden en grados.
El símbolo del grado es:
$$ ^\circ $$
Por ejemplo:
- Un ángulo de treinta grados se escribe $30^\circ$.
- Un ángulo de noventa grados se escribe $90^\circ$.
- Un ángulo de ciento ochenta grados se escribe $180^\circ$.
El transportador de ángulos
El instrumento que se utiliza para medir ángulos se llama transportador.
Con él podemos conocer la medida exacta de un ángulo.
Para medir un ángulo con un transportador:
- Colocamos el centro del transportador sobre el vértice.
- Alineamos uno de los lados con el cero.
- Leemos la medida donde el otro lado corta la escala.
Ejemplos de ángulos
Observa las siguientes medidas:
- $30^\circ$
- $45^\circ$
- $90^\circ$
- $120^\circ$
Todas representan aperturas diferentes entre los lados de un ángulo.
Cuanto mayor es la apertura, mayor es la medida del ángulo.
Ejemplo resuelto
Observa dos ángulos:
- Ángulo A: $40^\circ$
- Ángulo B: $80^\circ$
Como:
$$ 80^\circ > 40^\circ $$
el ángulo B tiene una apertura mayor que el ángulo A.
Clasificación de los ángulos
Los ángulos pueden clasificarse según su medida.
Conocer los distintos tipos de ángulos nos ayuda a describir figuras geométricas y a comprender mejor las formas que nos rodean.
Ángulo agudo
Un ángulo agudo mide menos de $90^\circ$.
Por ejemplo:
$$ 45^\circ $$
Los ángulos agudos tienen una apertura pequeña.
Ángulo recto
Un ángulo recto mide exactamente:
$$ 90^\circ $$
Se representa habitualmente mediante un pequeño cuadrado en el vértice.
Muchos objetos de nuestro entorno contienen ángulos rectos, como las esquinas de una mesa o de un libro.
Ángulo obtuso
Un ángulo obtuso mide más de $90^\circ$ y menos de $180^\circ$.
Por ejemplo:
$$ 120^\circ $$
Su apertura es mayor que la de un ángulo recto.
Ángulo llano
Un ángulo llano mide exactamente:
$$ 180^\circ $$
Sus lados forman una línea recta.
Ángulo completo
Un ángulo completo mide exactamente:
$$ 360^\circ $$
Representa una vuelta completa alrededor del vértice.
Por ejemplo, cuando una rueda gira una vuelta completa, ha girado $360^\circ$.
Comparación entre los distintos tipos
Observa cómo aumenta la apertura de los ángulos:
$$ 45^\circ < 90^\circ < 120^\circ < 180^\circ < 360^\circ $$
Cuanto mayor es la medida del ángulo, mayor es su apertura.
Ejemplo resuelto
Clasifica los siguientes ángulos:
- $35^\circ$ → ángulo agudo.
- $90^\circ$ → ángulo recto.
- $150^\circ$ → ángulo obtuso.
- $180^\circ$ → ángulo llano.
- $360^\circ$ → ángulo completo.
Para clasificarlos basta con comparar su medida con los valores de referencia $90^\circ$, $180^\circ$ y $360^\circ$.
Polígonos
Un polígono es una figura plana cerrada formada únicamente por segmentos.
Cada segmento recibe el nombre de lado del polígono.
Para que una figura sea un polígono debe cumplir dos condiciones:
- Estar cerrada.
- Estar formada únicamente por segmentos rectos.
Elementos de un polígono
Los polígonos están formados por varios elementos:
- Lados: segmentos que forman el contorno.
- Vértices: puntos donde se unen dos lados.
- Ángulos: regiones formadas por dos lados consecutivos.
- Diagonales: segmentos que unen dos vértices no consecutivos.
Clasificación de los polígonos según su número de lados
Los polígonos reciben nombres diferentes según el número de lados que tengan.
| Número de lados | Nombre |
|---|---|
| 3 | Triángulo |
| 4 | Cuadrilátero |
| 5 | Pentágono |
| 6 | Hexágono |
| 7 | Heptágono |
| 8 | Octógono |
| 9 | Eneágono |
| 10 | Decágono |
Polígonos regulares e irregulares
Un polígono regular tiene todos sus lados iguales y todos sus ángulos iguales.
Por ejemplo:
- Triángulo equilátero.
- Cuadrado.
- Pentágono regular.
- Hexágono regular.
Un polígono irregular tiene lados o ángulos de distinta medida.
Perímetro de un polígono
El perímetro es la longitud total de su contorno.
Para calcularlo sumamos la longitud de todos sus lados.
Ejemplo resuelto
Calcula el perímetro de un pentágono cuyos lados miden:
- 4 cm
- 4 cm
- 4 cm
- 4 cm
- 4 cm
Perímetro:
$$ 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20 $$
Resultado:
$$ P = 20\text{ cm} $$
Ejemplo resuelto
Un cuadrilátero tiene lados de:
- 5 cm
- 3 cm
- 4 cm
- 6 cm
Perímetro:
$$ 5 + 3 + 4 + 6 = 18 $$
Resultado:
$$ P = 18\text{ cm} $$
Triángulos
Un triángulo es un polígono formado por tres lados, tres vértices y tres ángulos.
Es el polígono con menor número de lados que puede existir.
Elementos de un triángulo
En todo triángulo encontramos:
- Tres lados.
- Tres vértices.
- Tres ángulos.
La suma de los tres ángulos interiores de cualquier triángulo es siempre:
$$ 180^\circ $$
Esta propiedad se cumple en todos los triángulos, independientemente de su forma o tamaño.
Clasificación según sus lados
Los triángulos pueden clasificarse según la longitud de sus lados.
Triángulo equilátero
Tiene los tres lados iguales.
Además, sus tres ángulos también son iguales.
Triángulo isósceles
Tiene dos lados iguales y uno diferente.
Los ángulos opuestos a los lados iguales también son iguales.
Triángulo escaleno
Tiene los tres lados diferentes.
Sus tres ángulos también tienen medidas diferentes.
Clasificación según sus ángulos
Los triángulos también pueden clasificarse según la medida de sus ángulos.
Triángulo acutángulo
Sus tres ángulos son agudos.
Es decir, todos miden menos de $90^\circ$.
Triángulo rectángulo
Tiene un ángulo recto.
Ese ángulo mide exactamente:
$$ 90^\circ $$
Triángulo obtusángulo
Tiene un ángulo obtuso.
Es decir, uno de sus ángulos mide más de $90^\circ$.
Ejemplo resuelto
Clasifica los siguientes triángulos:
- Un triángulo con tres lados iguales → equilátero.
- Un triángulo con dos lados iguales → isósceles.
- Un triángulo con un ángulo de $90^\circ$ → rectángulo.
- Un triángulo con un ángulo de $120^\circ$ → obtusángulo.
Un mismo triángulo puede clasificarse según sus lados y según sus ángulos al mismo tiempo.
Cuadriláteros
Los cuadriláteros son polígonos que tienen cuatro lados, cuatro vértices y cuatro ángulos.
Todos los cuadriláteros son polígonos porque están formados por segmentos y son figuras cerradas.
Paralelogramos
Los paralelogramos son cuadriláteros cuyos lados opuestos son paralelos.
Dentro de este grupo encontramos varias figuras importantes.
Cuadrado
El cuadrado tiene:
- Cuatro lados iguales.
- Cuatro ángulos rectos.
Es uno de los cuadriláteros más conocidos.
Rectángulo
El rectángulo tiene:
- Los lados opuestos iguales.
- Cuatro ángulos rectos.
Los lados consecutivos pueden tener distinta longitud.
Rombo
El rombo tiene:
- Cuatro lados iguales.
- Ángulos que no tienen por qué ser rectos.
Su forma suele parecerse a un diamante.
Romboide
El romboide tiene:
- Los lados opuestos iguales.
- Los lados opuestos paralelos.
- Ángulos que no son rectos.
Trapecios
Los trapecios son cuadriláteros que tienen un único par de lados paralelos.
Esos lados paralelos reciben el nombre de bases.
Trapezoides
Los trapezoides son cuadriláteros que no tienen ningún par de lados paralelos.
Son los cuadriláteros más irregulares.
Comparación de cuadriláteros
Observa las diferencias entre ellos:
- El cuadrado tiene todos los lados iguales y cuatro ángulos rectos.
- El rectángulo tiene cuatro ángulos rectos, pero no todos los lados son iguales.
- El rombo tiene todos los lados iguales, pero sus ángulos no tienen por qué ser rectos.
- El romboide tiene lados opuestos iguales y paralelos.
- El trapecio tiene un único par de lados paralelos.
- El trapezoide no tiene lados paralelos.
Ejemplo resuelto
Clasifica las siguientes figuras:
- Una ventana rectangular → rectángulo.
- Una señal con forma de diamante → rombo.
- Una baldosa cuadrada → cuadrado.
- Un cuadrilátero sin lados paralelos → trapezoide.
Para clasificar un cuadrilátero debemos fijarnos principalmente en sus lados y en sus ángulos.
Circunferencia y círculo
Aunque muchas veces utilizamos ambas palabras como si significaran lo mismo, en geometría tienen significados diferentes.
Circunferencia
La circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están siempre a la misma distancia de un punto llamado centro.
La circunferencia no tiene superficie interior.
Círculo
El círculo es la región del plano limitada por una circunferencia.
Por tanto, el círculo sí incluye toda la superficie interior.
Elementos de la circunferencia
En una circunferencia podemos distinguir varios elementos importantes.
Centro
Es el punto que se encuentra a la misma distancia de todos los puntos de la circunferencia.
Suele representarse con la letra O.
Radio
Es el segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia.
Diámetro
Es el segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro.
Cuerda
Es cualquier segmento que une dos puntos de la circunferencia.
No es necesario que pase por el centro.
Arco
Es una parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos.
Relación entre radio y diámetro
El diámetro siempre mide el doble que el radio.
Por tanto:
$$ d = 2r $$
y también:
$$ r = \frac{d}{2} $$
Ejemplo resuelto
Una circunferencia tiene un radio de 6 cm.
Calcula su diámetro.
Aplicamos:
$$ d = 2r $$
$$ d = 2 \cdot 6 $$
$$ d = 12 $$
Resultado:
$$ d = 12\text{ cm} $$
Ejemplo resuelto
Una circunferencia tiene un diámetro de 18 cm.
Calcula su radio.
Aplicamos:
$$ r = \frac{d}{2} $$
$$ r = \frac{18}{2} $$
$$ r = 9 $$
Resultado:
$$ r = 9\text{ cm} $$
Simetrías
Una figura tiene simetría cuando puede dividirse en dos partes que tienen la misma forma y el mismo tamaño.
La línea que divide la figura en dos partes iguales se llama eje de simetría.
Si dobláramos la figura por el eje de simetría, las dos partes coincidirían exactamente.
Eje de simetría
El eje de simetría puede ser vertical, horizontal o inclinado.
En una figura simétrica:
- Cada punto de un lado tiene otro punto correspondiente al otro lado.
- Los puntos correspondientes están a la misma distancia del eje.
- Las dos partes tienen la misma forma y el mismo tamaño.
Figuras con uno o varios ejes de simetría
Algunas figuras tienen un solo eje de simetría.
Por ejemplo:
- Un triángulo isósceles.
- Un corazón.
- Algunas hojas.
Otras figuras tienen varios ejes de simetría.
Por ejemplo:
- Un rectángulo tiene 2 ejes de simetría.
- Un cuadrado tiene 4 ejes de simetría.
- Una circunferencia tiene infinitos ejes de simetría.
Construcción de figuras simétricas sobre una cuadrícula
Para dibujar el simétrico de una figura sobre una cuadrícula podemos seguir estos pasos:
- Localizamos el eje de simetría.
- Contamos cuántos cuadros hay desde cada punto hasta el eje.
- Dibujamos cada punto correspondiente al otro lado, a la misma distancia del eje.
- Unimos los puntos obtenidos.
Ejemplo resuelto
Queremos dibujar el simétrico de un punto que está a 3 cuadros del eje de simetría.
Para hacerlo:
- Contamos 3 cuadros desde el punto hasta el eje.
- Pasamos al otro lado del eje.
- Marcamos el punto simétrico a 3 cuadros del eje.
Así, los dos puntos quedan a la misma distancia del eje de simetría.
Traslaciones
Una traslación es un movimiento que desplaza una figura de una posición a otra sin cambiar su forma ni su tamaño.
Durante una traslación:
- Todos los puntos de la figura se desplazan la misma distancia.
- Todos los puntos se mueven en la misma dirección.
- La figura no gira.
- La figura no cambia de tamaño.
Características de una traslación
Cuando realizamos una traslación:
- La figura inicial y la figura final son iguales.
- La orientación de la figura se mantiene.
- Las distancias entre los puntos no cambian.
Por esta razón decimos que una traslación conserva la forma y el tamaño de la figura.
Traslaciones en la vida cotidiana
Podemos observar traslaciones en muchas situaciones:
- Un ascensor que sube o baja.
- Una ficha que se desplaza sobre un tablero.
- Un coche que avanza en línea recta.
- Un icono que movemos por la pantalla del ordenador.
Cómo realizar una traslación sobre una cuadrícula
Para trasladar una figura sobre una cuadrícula:
- Elegimos una dirección.
- Elegimos una distancia.
- Movemos todos los vértices exactamente la misma cantidad.
- Unimos los nuevos vértices.
Ejemplo resuelto
Queremos trasladar una figura 4 cuadros hacia la derecha y 2 cuadros hacia arriba.
Para hacerlo:
- Movemos cada vértice 4 cuadros a la derecha.
- Después lo movemos 2 cuadros hacia arriba.
- Repetimos el proceso con todos los vértices.
La figura obtenida tiene exactamente la misma forma y el mismo tamaño que la original.
Giros
Un giro es un movimiento que hace que una figura rote alrededor de un punto llamado centro de giro.
Durante un giro:
- La figura mantiene su forma.
- La figura mantiene su tamaño.
- La orientación cambia.
- Todos los puntos giran alrededor del mismo centro.
Centro de giro
El centro de giro es el punto alrededor del cual gira la figura.
Puede encontrarse dentro o fuera de la figura.
Normalmente se representa mediante un punto.
Sentido del giro
Un giro puede realizarse:
- En sentido horario (como las agujas de un reloj).
- En sentido antihorario (en sentido contrario a las agujas del reloj).
Amplitud del giro
La amplitud del giro se mide mediante ángulos.
Por ejemplo:
- Giro de 90°.
- Giro de 180°.
- Giro de 270°.
- Giro de 360°.
Un giro de 360° devuelve la figura a su posición inicial.
Giros en la vida cotidiana
Podemos encontrar giros en muchas situaciones:
- Las agujas de un reloj.
- Una noria.
- Las ruedas de una bicicleta.
- Las aspas de un ventilador.
Ejemplo resuelto
Una figura realiza un giro de 90° alrededor de un punto.
Después del giro:
- La figura sigue teniendo el mismo tamaño.
- La figura sigue teniendo la misma forma.
- La orientación ha cambiado.
Por tanto, se trata de un giro y no de una traslación.
Coordenadas cartesianas
El plano cartesiano
El plano cartesiano es un sistema que nos permite localizar puntos mediante números.
Está formado por dos rectas numéricas perpendiculares:
- El eje horizontal se llama eje X.
- El eje vertical se llama eje Y.
El punto donde se cortan ambos ejes se llama origen de coordenadas.
Coordenadas de un punto
La posición de un punto se expresa mediante un par de números escritos entre paréntesis:
$$ (x,y) $$
- El primer número indica la posición horizontal.
- El segundo número indica la posición vertical.
Por ejemplo:
$$ (3,2) $$
significa:
- 3 unidades a la derecha del origen.
- 2 unidades hacia arriba.
Primero se indica la coordenada horizontal (x) y después la coordenada vertical (y).
Cómo representar un punto
Para representar un punto:
- Partimos del origen.
- Nos desplazamos según la coordenada X.
- Nos desplazamos según la coordenada Y.
- Marcamos el punto.
Lectura de coordenadas
Observa los siguientes puntos:
- A(2,3)
- B(5,1)
- C(4,4)
Para leer correctamente una coordenada siempre indicamos primero la posición horizontal y después la vertical.
Ejemplo resuelto
Queremos representar el punto P(4,3).
- Desde el origen avanzamos 4 unidades hacia la derecha.
- Después subimos 3 unidades.
- Marcamos el punto.
Por tanto, el punto P queda situado en la posición (4,3).