Expresiones matemáticas

Expresiones numéricas

Qué es una expresión numérica

Una expresión numérica es una combinación de números y operaciones matemáticas que representa un cálculo.

Las operaciones que pueden aparecer en una expresión numérica son:

• Sumas.
• Restas.
• Multiplicaciones.
• Divisiones.
• Potencias.
• Raíces cuadradas.
• Paréntesis.

Por ejemplo:

• $5 + 3$
• $12 - 7$
• $4 \times 6$
• $20 \div 5$
• $3 + 4 \times 2$
• $(8 + 2) \times 5$
• $10^2 - 15$
• $\sqrt{81} + 4$

Todas ellas son expresiones numéricas porque representan operaciones que pueden calcularse.

Valor de una expresión numérica

El valor de una expresión numérica es el resultado que obtenemos al realizar las operaciones que contiene.

Ejemplos:

Expresión:

$$ 7 + 5 $$

Valor:

$$ 7 + 5 = 12 $$

Expresión:

$$ 18 - 9 $$

Valor:

$$ 18 - 9 = 9 $$

Expresión:

$$ 6 \times 4 $$

Valor:

$$ 6 \times 4 = 24 $$

Expresión:

$$ 36 \div 6 $$

Valor:

$$ 36 \div 6 = 6 $$

Una misma expresión puede contener varias operaciones.

Por ejemplo:

$$ 8 + 3 \times 2 $$

Para obtener su valor debemos seguir unas reglas que indican el orden en que se realizan las operaciones.

Estas reglas reciben el nombre de jerarquía de operaciones y las estudiaremos en el siguiente apartado.

Jerarquía de operaciones

Orden de resolución de las operaciones

Cuando una expresión numérica contiene varias operaciones, no podemos realizarlas en cualquier orden.

Para que todas las personas obtengan el mismo resultado, existe una regla llamada jerarquía de operaciones.

El orden correcto es el siguiente:

1. Paréntesis.
2. Potencias y raíces.
3. Multiplicaciones y divisiones.
4. Sumas y restas.

Las operaciones que tienen la misma prioridad se realizan de izquierda a derecha.

Ejemplo 1

Calcula:

$$ 8 + 3 \times 2 $$

Primero realizamos la multiplicación:

$$ 3 \times 2 = 6 $$

La expresión queda:

$$ 8 + 6 $$

Y finalmente:

$$ 8 + 6 = 14 $$

Por tanto:

$$ 8 + 3 \times 2 = 14 $$

Ejemplo 2

Calcula:

$$ 24 \div 4 + 5 $$

Primero realizamos la división:

$$ 24 \div 4 = 6 $$

La expresión queda:

$$ 6 + 5 $$

Y obtenemos:

$$ 6 + 5 = 11 $$

Por tanto:

$$ 24 \div 4 + 5 = 11 $$

Ejemplo 3

Calcula:

$$ 5 + 2^3 $$

Primero calculamos la potencia:

$$ 2^3 = 8 $$

La expresión queda:

$$ 5 + 8 $$

Y obtenemos:

$$ 5 + 8 = 13 $$

Por tanto:

$$ 5 + 2^3 = 13 $$

Ejemplo 4

Calcula:

$$ 20 - \sqrt{81} $$

Primero calculamos la raíz:

$$ \sqrt{81} = 9 $$

La expresión queda:

$$ 20 - 9 $$

Y obtenemos:

$$ 20 - 9 = 11 $$

Por tanto:

$$ 20 - \sqrt{81} = 11 $$

Operaciones con la misma prioridad

Cuando aparecen varias multiplicaciones y divisiones seguidas, o varias sumas y restas seguidas, se resuelven de izquierda a derecha.

Ejemplo:

$$ 24 \div 6 \times 3 $$

Primero:

$$ 24 \div 6 = 4 $$

Después:

$$ 4 \times 3 = 12 $$

Resultado:

$$ 24 \div 6 \times 3 = 12 $$

Otro ejemplo:

$$ 20 - 5 + 8 $$

Primero:

$$ 20 - 5 = 15 $$

Después:

$$ 15 + 8 = 23 $$

Resultado:

$$ 20 - 5 + 8 = 23 $$

Uso de paréntesis

Cómo modifican el orden de las operaciones

Los paréntesis sirven para indicar qué operaciones deben realizarse primero.

Cuando una expresión contiene paréntesis, las operaciones que están dentro de ellos tienen prioridad sobre las demás.

Observa la diferencia entre estas dos expresiones:

$$ 8 + 2 \times 5 $$

y

$$ (8 + 2) \times 5 $$

Aunque contienen los mismos números y operaciones, los resultados son distintos porque los paréntesis cambian el orden de cálculo.

Ejemplo 1

Calcula:

$$ (8 + 2) \times 5 $$

Primero resolvemos el paréntesis:

$$ 8 + 2 = 10 $$

La expresión queda:

$$ 10 \times 5 $$

Y obtenemos:

$$ 10 \times 5 = 50 $$

Por tanto:

$$ (8 + 2) \times 5 = 50 $$

Ejemplo 2

Calcula:

$$ 30 - (12 - 5) $$

Primero resolvemos el paréntesis:

$$ 12 - 5 = 7 $$

La expresión queda:

$$ 30 - 7 $$

Y obtenemos:

$$ 30 - 7 = 23 $$

Por tanto:

$$ 30 - (12 - 5) = 23 $$

Ejemplo 3

Calcula:

$$ 6 \times (4 + 3) $$

Primero:

$$ 4 + 3 = 7 $$

La expresión queda:

$$ 6 \times 7 $$

Y obtenemos:

$$ 6 \times 7 = 42 $$

Por tanto:

$$ 6 \times (4 + 3) = 42 $$

Paréntesis dentro de otros paréntesis

En algunas expresiones aparecen varios paréntesis.

En ese caso se comienza por los más interiores.

Ejemplo 4

Calcula:

$$ 20 - (8 + (6 - 2)) $$

Primero resolvemos el paréntesis más interior:

$$ 6 - 2 = 4 $$

La expresión queda:

$$ 20 - (8 + 4) $$

Después resolvemos el siguiente paréntesis:

$$ 8 + 4 = 12 $$

La expresión queda:

$$ 20 - 12 $$

Y obtenemos:

$$ 20 - 12 = 8 $$

Por tanto:

$$ 20 - (8 + (6 - 2)) = 8 $$

Paréntesis y jerarquía de operaciones

Los paréntesis siempre tienen prioridad sobre cualquier otra operación.

Por ejemplo:

$$ 3 + (2 + 5)^2 $$

Primero resolvemos el paréntesis:

$$ 2 + 5 = 7 $$

Después la potencia:

$$ 7^2 = 49 $$

Y finalmente la suma:

$$ 3 + 49 = 52 $$

Resultado:

$$ 3 + (2 + 5)^2 = 52 $$

Igualdades matemáticas

Qué es una igualdad

Una igualdad es una expresión matemática en la que dos cantidades tienen el mismo valor.

Las igualdades se representan mediante el signo igual:

$$ = $$

Por ejemplo:

$$ 4 + 3 = 7 $$

La expresión de la izquierda vale 7 y la de la derecha también vale 7.

Por tanto, se trata de una igualdad.

Otros ejemplos:

$$ 10 - 2 = 8 $$

$$ 5 \times 6 = 30 $$

$$ 24 \div 3 = 8 $$

$$ 2^4 = 16 $$

En todos los casos, ambos miembros tienen el mismo valor.

Los miembros de una igualdad

Las expresiones situadas a ambos lados del signo igual reciben el nombre de miembros.

Por ejemplo:

$$ 12 + 5 = 17 $$

• Primer miembro: $12 + 5$
• Segundo miembro: $17$

Para que exista una igualdad, ambos miembros deben representar la misma cantidad.

Igualdades verdaderas y falsas

Una igualdad es verdadera cuando ambos miembros tienen el mismo valor.

Ejemplos:

$$ 8 + 4 = 12 $$

$$ 15 - 7 = 8 $$

$$ 9 \times 3 = 27 $$

Todas son igualdades verdaderas.

Una igualdad es falsa cuando los dos miembros tienen valores distintos.

Ejemplos:

$$ 8 + 4 = 15 $$

$$ 20 - 6 = 10 $$

$$ 7 \times 5 = 40 $$

Todas son igualdades falsas.

Comprobar una igualdad

Para comprobar si una igualdad es verdadera, calculamos el valor de cada miembro por separado.

Ejemplo 1

Comprueba:

$$ 18 + 7 = 30 - 5 $$

Primer miembro:

$$ 18 + 7 = 25 $$

Segundo miembro:

$$ 30 - 5 = 25 $$

Como ambos valen 25:

$$ 18 + 7 = 30 - 5 $$

es una igualdad verdadera.

Ejemplo 2

Comprueba:

$$ 8 \times 4 = 40 - 6 $$

Primer miembro:

$$ 8 \times 4 = 32 $$

Segundo miembro:

$$ 40 - 6 = 34 $$

Como 32 y 34 son distintos, la igualdad es falsa.

El signo igual

El signo igual no significa "calcula el resultado".

El signo igual significa:

$$ \text{tiene el mismo valor que} $$

Por ejemplo:

$$ 4 + 5 = 6 + 3 $$

Aunque las operaciones son diferentes, ambos miembros valen 9.

Por tanto, la igualdad es verdadera.

Este significado será muy importante cuando estudiemos ecuaciones.

Propiedades de las operaciones aplicadas al cálculo

Las propiedades de las operaciones nos permiten realizar cálculos de forma más rápida y comprender mejor cómo funcionan los números.

Estas propiedades son especialmente útiles para el cálculo mental.

Propiedad conmutativa

La propiedad conmutativa indica que al cambiar el orden de los números, el resultado no cambia.

Se cumple en la suma y en la multiplicación.

Ejemplos:

$$ 4 + 7 = 7 + 4 $$

$$ 3 \times 5 = 5 \times 3 $$

Comprobación:

$$ 4 + 7 = 11 $$

$$ 7 + 4 = 11 $$

y

$$ 3 \times 5 = 15 $$

$$ 5 \times 3 = 15 $$

Por tanto, las igualdades son verdaderas.

La propiedad conmutativa no se cumple en la resta ni en la división.

Por ejemplo:

$$ 10 - 3 \neq 3 - 10 $$

$$ 12 \div 4 \neq 4 \div 12 $$

Propiedad asociativa

La propiedad asociativa indica que cuando realizamos varias sumas o multiplicaciones, podemos agrupar los números de distintas maneras sin cambiar el resultado.

Se cumple en la suma y en la multiplicación.

Ejemplo con sumas:

$$ (3 + 5) + 2 = 3 + (5 + 2) $$

Comprobación:

$$ 8 + 2 = 10 $$

$$ 3 + 7 = 10 $$

Ejemplo con multiplicaciones:

$$ (2 \times 4) \times 5 = 2 \times (4 \times 5) $$

Comprobación:

$$ 8 \times 5 = 40 $$

$$ 2 \times 20 = 40 $$

La propiedad asociativa tampoco se cumple en la resta ni en la división.

Propiedad distributiva

La propiedad distributiva relaciona la multiplicación con la suma y la resta.

Permite multiplicar un número por cada término que aparece dentro de un paréntesis.

Ejemplo:

$$ 3 \times (4 + 2) $$

Podemos resolver primero el paréntesis:

$$ 3 \times 6 = 18 $$

O aplicar la propiedad distributiva:

$$ 3 \times 4 + 3 \times 2 $$

$$ 12 + 6 = 18 $$

Obtenemos el mismo resultado.

Otro ejemplo:

$$ 5 \times (10 - 3) $$

Aplicando la distributiva:

$$ 5 \times 10 - 5 \times 3 $$

$$ 50 - 15 = 35 $$

Uso de las propiedades para el cálculo mental

Las propiedades permiten simplificar muchos cálculos.

Ejemplo 1

Calcula mentalmente:

$$ 25 + 38 + 75 $$

Aplicamos la propiedad conmutativa para cambiar el orden:

$$ 25 + 75 + 38 $$

Agrupamos:

$$ 100 + 38 $$

Resultado:

$$ 138 $$

Ejemplo 2

Calcula mentalmente:

$$ 4 \times 25 $$

Podemos pensar:

$$ 25 = \frac{100}{4} $$

o simplemente agrupar:

$$ 4 \times 25 = 100 $$

Resultado:

$$ 100 $$

Ejemplo 3

Calcula:

$$ 12 \times 5 $$

Descomponemos:

$$ 12 = 10 + 2 $$

Aplicamos la distributiva:

$$ (10 + 2) \times 5 $$

$$ 10 \times 5 + 2 \times 5 $$

$$ 50 + 10 $$

$$ 60 $$

Introducción a ecuaciones sencillas

La incógnita

En Matemáticas, a veces conocemos el resultado de una operación, pero no conocemos uno de los números que intervienen en ella.

A ese valor desconocido lo llamamos incógnita.

La incógnita suele representarse mediante una letra, normalmente la letra $x$.

Por ejemplo:

$$ x + 5 = 12 $$

Sabemos que al sumar un número y 5 obtenemos 12, pero no conocemos ese número.

La letra $x$ representa la incógnita.

Encontrar el valor de la incógnita

Resolver una ecuación consiste en averiguar qué valor debe tener la incógnita para que la igualdad sea verdadera.

Ejemplo 1

$$ x + 5 = 12 $$

Pensamos:

¿Qué número sumado a 5 da 12?

Como:

$$ 7 + 5 = 12 $$

entonces:

$$ x = 7 $$

Comprobación

Sustituimos la incógnita por el valor encontrado:

$$ 7 + 5 = 12 $$

La igualdad es verdadera.

Ejemplo 2

$$ x - 4 = 9 $$

Pensamos:

¿Qué número menos 4 da 9?

Como:

$$ 13 - 4 = 9 $$

entonces:

$$ x = 13 $$

Comprobación

$$ 13 - 4 = 9 $$

La igualdad es verdadera.

Ejemplo 3

$$ x \times 3 = 18 $$

Pensamos:

¿Qué número multiplicado por 3 da 18?

Como:

$$ 6 \times 3 = 18 $$

entonces:

$$ x = 6 $$

Comprobación

$$ 6 \times 3 = 18 $$

La igualdad es verdadera.

Ejemplo 4

$$ x \div 5 = 4 $$

Pensamos:

¿Qué número dividido entre 5 da 4?

Como:

$$ 20 \div 5 = 4 $$

entonces:

$$ x = 20 $$

Comprobación

$$ 20 \div 5 = 4 $$

La igualdad es verdadera.

Resolver ecuaciones sencillas usando operaciones inversas

Las operaciones tienen una operación inversa que permite deshacerlas.

Gracias a estas operaciones inversas podemos encontrar rápidamente el valor de la incógnita.

Ejemplo 5

$$ x + 8 = 15 $$

La operación que acompaña a la incógnita es una suma.

Para deshacerla utilizamos una resta:

$$ x = 15 - 8 $$

$$ x = 7 $$

Ejemplo 6

$$ x - 6 = 10 $$

La operación que acompaña a la incógnita es una resta.

Para deshacerla utilizamos una suma:

$$ x = 10 + 6 $$

$$ x = 16 $$

Ejemplo 7

$$ x \times 4 = 28 $$

La operación que acompaña a la incógnita es una multiplicación.

Para deshacerla utilizamos una división:

$$ x = 28 \div 4 $$

$$ x = 7 $$

Ejemplo 8

$$ x \div 9 = 3 $$

La operación que acompaña a la incógnita es una división.

Para deshacerla utilizamos una multiplicación:

$$ x = 3 \times 9 $$

$$ x = 27 $$