Divisibilidad

Múltiplos y divisores

Concepto de múltiplo

Un número es múltiplo de otro cuando puede obtenerse multiplicándolo por un número natural.

Por ejemplo, los múltiplos de 5 son:

• 0
• 5
• 10
• 15
• 20
• 25
• 30
• ...

Observa que:

• 5 × 0 = 0
• 5 × 1 = 5
• 5 × 2 = 10
• 5 × 3 = 15
• 5 × 4 = 20

Por tanto, todos esos números son múltiplos de 5.

Los múltiplos de un número son infinitos porque siempre podemos seguir multiplicando por números naturales cada vez mayores.

Concepto de divisor

Un número es divisor de otro cuando lo divide exactamente, es decir, cuando el resto de la división es 0.

Por ejemplo:

$$ 12 \div 1 = 12 $$

$$ 12 \div 2 = 6 $$

$$ 12 \div 3 = 4 $$

$$ 12 \div 4 = 3 $$

$$ 12 \div 6 = 2 $$

$$ 12 \div 12 = 1 $$

Como todas estas divisiones son exactas, decimos que:

• 1 es divisor de 12.
• 2 es divisor de 12.
• 3 es divisor de 12.
• 4 es divisor de 12.
• 6 es divisor de 12.
• 12 es divisor de 12.

A diferencia de los múltiplos, un número tiene un número limitado de divisores.

Relación entre múltiplos y divisores

Los conceptos de múltiplo y divisor están relacionados.

Si un número es múltiplo de otro, entonces el segundo es divisor del primero.

Por ejemplo:

$$ 20 = 5 \times 4 $$

Como 20 se obtiene multiplicando 5 por 4:

• 20 es múltiplo de 5.
• 5 es divisor de 20.

Otro ejemplo:

$$ 42 = 7 \times 6 $$

Por tanto:

• 42 es múltiplo de 7.
• 7 es divisor de 42.

Podemos expresar una misma relación de distintas formas:

• 24 es múltiplo de 6.
• 6 es divisor de 24.

Ambas afirmaciones significan exactamente lo mismo.

Divisor y divisible

Las palabras divisor y divisible están relacionadas, pero no significan lo mismo.

• Un divisor es un número que divide exactamente a otro.
• Un número es divisible entre otro cuando la división es exacta.

Por ejemplo:

$$ 24 \div 6 = 4 $$

Como la división es exacta:

• 6 es divisor de 24.
• 24 es divisible entre 6.

Otro ejemplo:

$$ 35 \div 5 = 7 $$

Como la división es exacta:

• 5 es divisor de 35.
• 35 es divisible entre 5.

Sin embargo:

$$ 35 \div 4 = 8 \text{ y sobra } 3 $$

Como la división no es exacta:

• 4 no es divisor de 35.
• 35 no es divisible entre 4.

Criterios de divisibilidad

Los criterios de divisibilidad son reglas que nos permiten saber rápidamente si un número es divisible entre otro sin necesidad de realizar la división completa.

Estos criterios son muy útiles para:

• Comprobar divisiones.
• Encontrar divisores.
• Identificar números primos.
• Realizar descomposiciones en factores primos.
• Calcular el mcd y el mcm.

Divisibilidad entre 2

Un número es divisible entre 2 cuando termina en una cifra par.

Las cifras pares son:

• 0
• 2
• 4
• 6
• 8

Por tanto, un número es divisible entre 2 si termina en cualquiera de esas cifras.

Ejemplos:

• 14 es divisible entre 2.
• 326 es divisible entre 2.
• 8 540 es divisible entre 2.
• 92 718 es divisible entre 2.

Por el contrario:

• 15 no es divisible entre 2.
• 327 no es divisible entre 2.
• 8 541 no es divisible entre 2.

Divisibilidad entre 3

Un número es divisible entre 3 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

Ejemplos:

• 12 → 1 + 2 = 3
• 24 → 2 + 4 = 6
• 321 → 3 + 2 + 1 = 6
• 4 512 → 4 + 5 + 1 + 2 = 12

Como 3, 6 y 12 son múltiplos de 3, todos esos números son divisibles entre 3.

Por el contrario:

• 14 → 1 + 4 = 5
• 25 → 2 + 5 = 7
• 4 513 → 4 + 5 + 1 + 3 = 13

Ninguna de esas sumas es múltiplo de 3, por lo que esos números no son divisibles entre 3.

Divisibilidad entre 4

Un número es divisible entre 4 cuando las dos últimas cifras forman un múltiplo de 4.

Ejemplos:

• 116 → 16 es múltiplo de 4.
• 524 → 24 es múltiplo de 4.
• 2 812 → 12 es múltiplo de 4.
• 4 900 → 00 es múltiplo de 4.

Todos ellos son divisibles entre 4.

Por el contrario:

• 118 → 18 no es múltiplo de 4.
• 526 → 26 no es múltiplo de 4.
• 2 814 → 14 no es múltiplo de 4.

Estos números no son divisibles entre 4.

Divisibilidad entre 5

Un número es divisible entre 5 cuando termina en 0 o en 5.

Ejemplos:

• 20
• 45
• 310
• 2 875

Todos ellos terminan en 0 o en 5.

Por el contrario:

• 21
• 46
• 312
• 2 877

No terminan en 0 ni en 5.

Divisibilidad entre 6

Un número es divisible entre 6 cuando es divisible entre 2 y entre 3 al mismo tiempo.

Deben cumplirse ambas condiciones.

Ejemplo:

Comprobemos si 234 es divisible entre 6.

Primero comprobamos la divisibilidad entre 2:

• Termina en 4.
• Sí es divisible entre 2.

Ahora comprobamos la divisibilidad entre 3:

$$ 2 + 3 + 4 = 9 $$

Como 9 es múltiplo de 3, también es divisible entre 3.

Por tanto, 234 es divisible entre 6.

Veamos otro ejemplo:

¿Es 124 divisible entre 6?

• Termina en 4, por lo que es divisible entre 2.

Pero:

$$ 1 + 2 + 4 = 7 $$

Como 7 no es múltiplo de 3, no es divisible entre 3.

Por tanto, 124 no es divisible entre 6.

Divisibilidad entre 9

Un número es divisible entre 9 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 9.

Ejemplos:

• 18 → 1 + 8 = 9
• 81 → 8 + 1 = 9
• 234 → 2 + 3 + 4 = 9
• 4 851 → 4 + 8 + 5 + 1 = 18

Todos ellos son divisibles entre 9.

Por el contrario:

• 82 → 8 + 2 = 10
• 235 → 2 + 3 + 5 = 10
• 4 852 → 4 + 8 + 5 + 2 = 19

No son divisibles entre 9.

Divisibilidad entre 10

Un número es divisible entre 10 cuando termina en 0.

Ejemplos:

• 10
• 50
• 1 230
• 78 450

Todos ellos terminan en 0.

Por el contrario:

• 11
• 51
• 1 231
• 78 451

No terminan en 0.

Divisibilidad entre 25

Un número es divisible entre 25 cuando sus dos últimas cifras son:

• 00
• 25
• 50
• 75

Ejemplos:

• 100
• 225
• 850
• 4 375

Todos ellos son divisibles entre 25.

Por el contrario:

• 110
• 235
• 860
• 4 385

No son divisibles entre 25.

Resumen de los criterios de divisibilidad

Números primos y compuestos

Los divisores de un número nos proporcionan mucha información sobre él.

Al estudiar los divisores de los números naturales, los matemáticos descubrieron que algunos números tienen únicamente dos divisores, mientras que otros tienen muchos más.

Esta observación permite clasificar los números naturales en dos grandes grupos:

• Números primos.
• Números compuestos.

Números primos

Un número primo es un número natural que tiene exactamente dos divisores:

• El número 1.
• Él mismo.

Por tanto, un número primo solo puede dividirse exactamente entre 1 y entre sí mismo.

Observa algunos ejemplos:

Todos estos números tienen exactamente dos divisores, por lo que son números primos.

Números compuestos

Un número compuesto es un número natural que tiene más de dos divisores.

Por tanto, además de poder dividirse entre 1 y entre sí mismo, también puede dividirse exactamente entre otros números.

Observa algunos ejemplos:

Todos ellos tienen más de dos divisores, por lo que son números compuestos.

El número 1

El número 1 es un caso especial.

Sus divisores son:

• 1

Como solo tiene un divisor:

• No es un número primo.
• No es un número compuesto.

Por esta razón, el número 1 forma una categoría especial dentro de los números naturales.

Cómo saber si un número es primo

Para saber si un número es primo debemos comprobar cuántos divisores tiene.

Si únicamente tiene dos divisores, será primo.

Si tiene más de dos divisores, será compuesto.

Veamos algunos ejemplos.

Número 17

Probamos sus posibles divisores:

• 17 ÷ 2 → no es exacta.
• 17 ÷ 3 → no es exacta.
• 17 ÷ 4 → no es exacta.

Solo es divisible entre 1 y entre 17.

Por tanto, 17 es primo.

Número 21

Probamos algunos divisores:

$$ 21 \div 3 = 7 $$

La división es exacta.

Por tanto, 21 tiene más de dos divisores:

• 1
• 3
• 7
• 21

Así que 21 es compuesto.

Tabla de números primos menores que 100

Los números primos menores que 100 son:

Es conveniente conocer estos números porque aparecen con mucha frecuencia en los cálculos de divisibilidad y en la descomposición en factores primos.

Descomposición en factores primos

Descomponer un número en factores primos consiste en escribirlo como una multiplicación formada únicamente por números primos.

Por ejemplo:

$$ 12 = 2 \times 2 \times 3 $$

Como 2 y 3 son números primos, esta es una descomposición en factores primos.

Método de la escalera

Para descomponer un número en factores primos podemos utilizar el método de la escalera.

Consiste en dividir el número entre números primos hasta llegar a 1.

Normalmente empezamos probando por los números primos más pequeños:

• 2
• 3
• 5
• 7
• 11
• ...

Ejemplo con 60

Descomponemos 60 en factores primos.

$$ \begin{array}{r|l} 60 & 2 \\ 30 & 2 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array} $$

A la derecha aparecen los factores primos que hemos utilizado:

$$ 2,\ 2,\ 3,\ 5 $$

Por tanto:

$$ 60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 $$

También podemos escribirlo utilizando potencias:

$$ 60 = 2^2 \times 3 \times 5 $$

Ejemplo con 84

Descomponemos 84 en factores primos.

$$ \begin{array}{r|l} 84 & 2 \\ 42 & 2 \\ 21 & 3 \\ 7 & 7 \\ 1 & \end{array} $$

Por tanto:

$$ 84 = 2 \times 2 \times 3 \times 7 $$

O también:

$$ 84 = 2^2 \times 3 \times 7 $$

Ejemplo con 360

Descomponemos 360 en factores primos.

$$ \begin{array}{r|l} 360 & 2 \\ 180 & 2 \\ 90 & 2 \\ 45 & 3 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array} $$

Por tanto:

$$ 360 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 $$

O también:

$$ 360 = 2^3 \times 3^2 \times 5 $$

Forma de escribir la descomposición

La descomposición en factores primos puede escribirse de dos formas.

Forma desarrollada

Se escriben todos los factores primos:

$$ 72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 $$

Forma con potencias

Se agrupan los factores repetidos:

$$ 72 = 2^3 \times 3^2 $$

Las dos formas son correctas, pero la forma con potencias es más breve y ordenada.

Máximo común divisor (mcd)

El máximo común divisor de dos o más números es el mayor número que divide exactamente a todos ellos.

Se suele escribir de forma abreviada como mcd.

Por ejemplo, para calcular el mcd de 12 y 18, buscamos sus divisores.

Divisores de 12:

• 1
• 2
• 3
• 4
• 6
• 12

Divisores de 18:

• 1
• 2
• 3
• 6
• 9
• 18

Los divisores comunes son:

• 1
• 2
• 3
• 6

El mayor de ellos es 6.

Por tanto:

$$ \operatorname{mcd}(12,18)=6 $$

Cálculo del mcd mediante factores primos

Cuando los números son grandes, resulta más cómodo calcular el mcd usando la descomposición en factores primos.

Para calcular el mcd mediante factores primos seguimos estos pasos:

1. Descomponemos cada número en factores primos.
2. Buscamos los factores primos comunes.
3. Elegimos los factores comunes con el menor exponente.
4. Multiplicamos esos factores.

Ejemplo con 36 y 60

Calculamos el mcd de 36 y 60.

Descomponemos 36:

$$ \begin{array}{r|l} 36 & 2 \\ 18 & 2 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{array} $$

Por tanto:

$$ 36 = 2^2 \times 3^2 $$

Descomponemos 60:

$$ \begin{array}{r|l} 60 & 2 \\ 30 & 2 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array} $$

Por tanto:

$$ 60 = 2^2 \times 3 \times 5 $$

Ahora buscamos los factores comunes:

Multiplicamos los factores comunes con el menor exponente:

$$ 2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12 $$

Por tanto:

$$ \operatorname{mcd}(36,60)=12 $$

Cuándo se utiliza el mcd

El mcd se utiliza cuando queremos repartir o dividir varias cantidades en grupos iguales lo más grandes posible, sin que sobre nada.

Por ejemplo:

Tenemos 24 caramelos y 36 galletas. Queremos preparar bolsas iguales, de manera que todas las bolsas tengan el mismo número de caramelos y el mismo número de galletas, y que no sobre nada.

Calculamos:

$$ \operatorname{mcd}(24,36)=12 $$

Por tanto, podemos preparar 12 bolsas iguales.

Cada bolsa tendrá:

$$ 24 \div 12 = 2 $$

caramelos y:

$$ 36 \div 12 = 3 $$

galletas.

Mínimo común múltiplo (mcm)

El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor múltiplo común distinto de cero que tienen esos números.

Se suele escribir de forma abreviada como mcm.

Por ejemplo, observemos los múltiplos de 4 y de 6.

Múltiplos de 4:

• 4
• 8
• 12
• 16
• 20
• 24
• 28
• ...

Múltiplos de 6:

• 6
• 12
• 18
• 24
• 30
• ...

Los múltiplos comunes son:

• 12
• 24
• 36
• ...

El menor de ellos es 12.

Por tanto:

$$ \operatorname{mcm}(4,6)=12 $$

Cálculo del mcm mediante factores primos

Cuando los números son grandes, resulta más cómodo calcular el mcm mediante la descomposición en factores primos.

Para calcular el mcm seguimos estos pasos:

1. Descomponemos cada número en factores primos.
2. Tomamos todos los factores primos que aparecen.
3. Elegimos cada factor con el mayor exponente con el que aparece.
4. Multiplicamos esos factores.

Ejemplo con 12 y 18

Descomponemos 12:

$$ \begin{array}{r|l} 12 & 2 \\ 6 & 2 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{array} $$

Por tanto:

$$ 12 = 2^2 \times 3 $$

Descomponemos 18:

$$ \begin{array}{r|l} 18 & 2 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{array} $$

Por tanto:

$$ 18 = 2 \times 3^2 $$

Ahora elegimos los factores con el mayor exponente.

Multiplicamos:

$$ 2^2 \times 3^2 $$

$$ 4 \times 9 = 36 $$

Por tanto:

$$ \operatorname{mcm}(12,18)=36 $$

Diferencia entre mcd y mcm

Aunque ambos conceptos están relacionados, se utilizan en situaciones diferentes.

Cuándo se utiliza el mcm

El mcm se utiliza cuando queremos saber cuándo varias situaciones que se repiten volverán a coincidir.

Por ejemplo:

Una campana suena cada 12 minutos y otra campana suena cada 18 minutos.

Si ambas acaban de sonar al mismo tiempo, ¿cuándo volverán a sonar juntas?

Calculamos:

$$ \operatorname{mcm}(12,18)=36 $$

Por tanto, volverán a sonar juntas dentro de 36 minutos.

Otro ejemplo:

Dos autobuses salen de una estación.

• El primero sale cada 20 minutos.
• El segundo sale cada 30 minutos.

Calculamos:

$$ \operatorname{mcm}(20,30)=60 $$

Por tanto, ambos autobuses volverán a salir al mismo tiempo cada 60 minutos.

Resolución de problemas de divisibilidad

En muchos problemas no nos preguntan directamente por el mcd o por el mcm. Debemos leer atentamente el enunciado y decidir cuál de los dos conceptos debemos utilizar.

Problemas de mcd

Normalmente utilizamos el mcd cuando:

• Queremos repartir varias cantidades en grupos iguales.
• Queremos formar grupos lo más grandes posible.
• No debe sobrar nada.

Palabras que suelen aparecer

• Repartir.
• Agrupar.
• Formar grupos.
• Hacer lotes.
• Sin que sobre nada.
• Lo más grandes posible.

Problemas de mcm

Normalmente utilizamos el mcm cuando:

• Varias acciones se repiten periódicamente.
• Queremos saber cuándo volverán a coincidir.
• Buscamos el primer momento en que ocurren juntas.

Palabras que suelen aparecer

• Coincidir.
• Volver a encontrarse.
• Repetirse.
• Cada cierto tiempo.
• Cada ciertos días.
• Cada ciertos minutos.

Cómo decidir entre mcd y mcm

Cuando resolvemos un problema de divisibilidad, conviene hacerse estas preguntas:

¿Estoy repartiendo o agrupando cantidades?

Si la respuesta es sí, probablemente debamos utilizar el mcd.

¿Estoy buscando cuándo volverán a coincidir varias situaciones que se repiten?

Si la respuesta es sí, probablemente debamos utilizar el mcm.

Estrategia para resolver problemas de divisibilidad

Podemos seguir siempre los mismos pasos:

1. Leer atentamente el problema.
2. Identificar los datos importantes.
3. Decidir si debemos utilizar el mcd o el mcm.
4. Realizar los cálculos.
5. Comprobar que la respuesta tiene sentido.