Perímetros y áreas

Concepto de perímetro

¿Qué es el perímetro?

El perímetro de una figura plana es la longitud total de su contorno.

Dicho de otra forma, el perímetro es la distancia que recorreríamos si camináramos una vez alrededor de la figura siguiendo exactamente su borde.

Por ejemplo:

• La valla que rodea un jardín tiene la misma longitud que el perímetro del jardín.
• El marco de un cuadro recorre todo su perímetro.
• La línea exterior de un campo de fútbol forma su perímetro.

El perímetro siempre se expresa mediante unidades de longitud:

• Milímetros (mm)
• Centímetros (cm)
• Metros (m)
• Kilómetros (km)

Cálculo del perímetro

Para calcular el perímetro de cualquier figura plana debemos sumar las longitudes de todos sus lados.

Por tanto:

$$ \text{Perímetro} = \text{suma de todos los lados} $$

Ejemplo resuelto

Un triángulo tiene lados de 5 cm, 7 cm y 8 cm.

Calculamos:

$$ P = 5 + 7 + 8 = 20 $$

Por tanto, el perímetro del triángulo es:

$$ P = 20\text{ cm} $$

Perímetro y área no son lo mismo

Es frecuente confundir el perímetro con el área, pero representan conceptos diferentes.

• El perímetro mide el borde de una figura.
• El área mide la superficie que ocupa la figura.

Observa este ejemplo:

Un terreno rectangular mide 8 m de largo y 5 m de ancho.

Su perímetro es:

$$ P = 8 + 5 + 8 + 5 = 26\text{ m} $$

El valor 26 m representa la longitud de todo el contorno del terreno.

Más adelante veremos que el área de este mismo rectángulo es 40 m², una magnitud completamente diferente.

Aplicaciones del perímetro

El cálculo de perímetros aparece en muchas situaciones cotidianas.

Por ejemplo:

• Colocar una valla alrededor de un terreno.
• Instalar un marco en una fotografía.
• Rodear una pista deportiva.
• Decorar el borde de una mesa con una cinta.

En todos estos casos necesitamos conocer la longitud total del contorno.

Perímetro de polígonos

Perímetro de un polígono

Un polígono es una figura plana cerrada formada por segmentos.

El perímetro de cualquier polígono se obtiene sumando la longitud de todos sus lados.

$$ P = \text{suma de todos los lados} $$

Perímetro de un triángulo

Un triángulo tiene tres lados.

Para calcular su perímetro sumamos las longitudes de esos tres lados.

Ejemplo:

Un triángulo tiene lados de 6 cm, 8 cm y 10 cm.

$$ P = 6 + 8 + 10 $$

$$ P = 24\text{ cm} $$

Perímetro de un cuadrado

Todos los lados de un cuadrado tienen la misma longitud.

Por esta razón, basta con multiplicar la longitud de un lado por 4.

$$ P = 4 \cdot l $$

donde:

• $P$ es el perímetro.
• $l$ es la longitud de un lado.

Ejemplo:

Un cuadrado tiene un lado de 7 cm.

$$ P = 4 \cdot 7 $$

$$ P = 28\text{ cm} $$

Perímetro de un rectángulo

En un rectángulo los lados opuestos tienen la misma longitud.

Por tanto:

$$ P = l + a + l + a $$

Agrupando términos:

$$ P = 2l + 2a $$

o también:

$$ P = 2(l+a) $$

donde:

• $l$ es el largo.
• $a$ es el ancho.

Ejemplo:

Un rectángulo mide 8 cm de largo y 5 cm de ancho.

$$ P = 2(8+5) $$

$$ P = 2\cdot13 $$

$$ P = 26\text{ cm} $$

Perímetro de polígonos regulares

Un polígono regular tiene todos sus lados iguales.

En estos casos podemos calcular el perímetro multiplicando la longitud de un lado por el número de lados.

$$ P = n \cdot l $$

donde:

• $n$ es el número de lados.
• $l$ es la longitud de cada lado.

Ejemplo:

Un hexágono regular tiene lados de 4 cm.

Como tiene 6 lados:

$$ P = 6 \cdot 4 $$

$$ P = 24\text{ cm} $$

Ejemplo resuelto

Calcula el perímetro de un pentágono regular cuyo lado mide 9 cm.

El pentágono tiene 5 lados iguales.

$$ P = 5 \cdot 9 $$

$$ P = 45\text{ cm} $$

Longitud de una circunferencia y el número π

La circunferencia como perímetro del círculo

La circunferencia es la línea que forma el borde de un círculo.

Su longitud equivale al perímetro de una figura circular.

Descubriendo el número π

Los matemáticos observaron que, al dividir la longitud de cualquier circunferencia entre su diámetro, siempre se obtiene aproximadamente el mismo número.

Por ejemplo:

• Si una circunferencia mide aproximadamente 31,4 cm y su diámetro es 10 cm:

$$ \frac{31,4}{10}=3,14 $$

• Si una circunferencia mide aproximadamente 62,8 cm y su diámetro es 20 cm:

$$ \frac{62,8}{20}=3,14 $$

Este número especial se representa mediante la letra griega:

$$ \pi $$

y su valor aproximado es:

$$ \pi \approx 3,1416 $$

En Primaria suele utilizarse:

$$ \pi \approx 3,14 $$

Fórmula de la longitud de una circunferencia

Como la longitud de una circunferencia es aproximadamente 3,14 veces su diámetro, podemos escribir:

$$ L=\pi d $$

donde:

• $L$ es la longitud de la circunferencia.
• $\pi \approx 3,14$.
• $d$ es el diámetro.

Como el diámetro es el doble del radio:

$$ d=2r $$

también podemos escribir:

$$ L=2\pi r $$

donde:

• $r$ es el radio.

Ejemplo resuelto

Calcula la longitud de una circunferencia cuyo diámetro mide 10 cm.

Aplicamos la fórmula:

$$ L=\pi d $$

$$ L=3,14\cdot10 $$

$$ L=31,4 $$

Por tanto:

$$ L=31,4\text{ cm} $$

Otro ejemplo resuelto

Calcula la longitud de una circunferencia cuyo radio mide 6 m.

Aplicamos la fórmula:

$$ L=2\pi r $$

$$ L=2\cdot3,14\cdot6 $$

$$ L=37,68 $$

Por tanto:

$$ L=37,68\text{ m} $$

Concepto de área

¿Qué es el área?

El área es la medida de la superficie que ocupa una figura plana.

Mientras que el perímetro mide el contorno de una figura, el área mide todo el espacio que hay en su interior.

Por ejemplo:

• La cantidad de césped que cubre un jardín depende de su área.
• La pintura necesaria para cubrir una pared depende de su área.
• Las baldosas necesarias para cubrir un suelo dependen de su área.

La unidad cuadrada

Para medir superficies utilizamos unidades cuadradas.

Una unidad cuadrada es un cuadrado cuyos lados miden una unidad de longitud.

Por ejemplo:

• Un cuadrado de 1 cm de lado tiene un área de 1 cm².
• Un cuadrado de 1 m de lado tiene un área de 1 m².

El símbolo "²" significa "al cuadrado".

Por tanto:

$$ 1\text{ cm}^2 $$

se lee:

"un centímetro cuadrado".

Y

$$ 1\text{ m}^2 $$

se lee:

"un metro cuadrado".

Cómo calcular un área contando cuadrados

Observa la siguiente figura formada por cuadrados unidad.

Si contamos todos los cuadrados completos obtenemos el área de la figura.

Ejemplo:

Una figura ocupa 12 cuadrados unidad.

Por tanto:

$$ A = 12\text{ u}^2 $$

donde:

• $A$ representa el área.
• $\text{u}^2$ representa unidades cuadradas.

Diferencia entre perímetro y área

Aunque ambos conceptos están relacionados con las figuras planas, miden cosas diferentes.

Ejemplo:

Un cuadrado tiene lados de 4 m.

Su perímetro es:

$$ P = 4 \cdot 4 = 16\text{ m} $$

Su área es:

$$ A = 4 \cdot 4 = 16\text{ m}^2 $$

Observa que los dos resultados tienen el mismo valor numérico, pero representan magnitudes diferentes porque utilizan unidades distintas.

Aplicaciones del área

El cálculo de áreas aparece en muchas situaciones cotidianas.

Por ejemplo:

• Calcular la superficie de una habitación.
• Saber cuánta pintura necesitamos para una pared.
• Determinar la superficie de una parcela.
• Calcular cuántas baldosas necesitamos para cubrir un suelo.

En todos estos casos necesitamos conocer la superficie ocupada y no únicamente la longitud de su contorno.

Área del cuadrado y del rectángulo

Área del rectángulo

Si dividimos un rectángulo en cuadrados unidad, observamos que el número total de cuadrados depende de dos medidas:

• El largo.
• El ancho.

Para calcular el área de un rectángulo multiplicamos ambas dimensiones.

$$ A = l \cdot a $$

donde:

• $A$ es el área.
• $l$ es el largo.
• $a$ es el ancho.

Ejemplo resuelto

Un rectángulo mide 8 cm de largo y 5 cm de ancho.

Aplicamos la fórmula:

$$ A = 8 \cdot 5 $$

$$ A = 40 $$

Por tanto:

$$ A = 40\text{ cm}^2 $$

El rectángulo ocupa una superficie de cuarenta centímetros cuadrados.

¿Por qué funciona esta fórmula?

Imagina un rectángulo formado por cuadrados unidad.

Si tiene:

• 8 cuadrados en cada fila.
• 5 filas.

El número total de cuadrados será:

$$ 8 \cdot 5 = 40 $$

Por eso multiplicamos el largo por el ancho.

Área del cuadrado

El cuadrado es un caso particular de rectángulo en el que todos los lados tienen la misma longitud.

Como largo y ancho son iguales, podemos escribir:

$$ A = l \cdot l $$

o de forma más compacta:

$$ A = l^2 $$

donde:

• $A$ es el área.
• $l$ es la longitud del lado.

Ejemplo resuelto

Un cuadrado tiene un lado de 7 cm.

Aplicamos la fórmula:

$$ A = 7^2 $$

$$ A = 7 \cdot 7 $$

$$ A = 49 $$

Por tanto:

$$ A = 49\text{ cm}^2 $$

Comparación entre cuadrado y rectángulo

Observa que la fórmula del cuadrado es simplemente un caso particular de la fórmula del rectángulo.

Ejemplo resuelto

Calcula el área de una pista rectangular que mide 25 m de largo y 12 m de ancho.

Aplicamos la fórmula:

$$ A = 25 \cdot 12 $$

$$ A = 300 $$

Por tanto:

$$ A = 300\text{ m}^2 $$

La pista ocupa una superficie de trescientos metros cuadrados.

Área de otras figuras planas

Área del triángulo

Un triángulo ocupa exactamente la mitad de un paralelogramo o de un rectángulo que tengan la misma base y la misma altura.

Por esta razón, para calcular el área de un triángulo multiplicamos la base por la altura y dividimos el resultado entre 2.

$$ A=\frac{b\cdot h}{2} $$

donde:

• $A$ es el área.
• $b$ es la base.
• $h$ es la altura.

La altura de un triángulo

La altura es el segmento perpendicular que une un vértice con la recta que contiene al lado opuesto.

La altura siempre forma un ángulo recto con la base.

Es importante no confundir la altura con uno de los lados del triángulo.

Ejemplo resuelto

Un triángulo tiene:

• Base = 8 cm
• Altura = 5 cm

Aplicamos la fórmula:

$$ A=\frac{8\cdot5}{2} $$

$$ A=\frac{40}{2} $$

$$ A=20 $$

Por tanto:

$$ A=20\text{ cm}^2 $$

Otro ejemplo resuelto

Calcula el área de un triángulo cuya base mide 12 m y cuya altura mide 7 m.

$$ A=\frac{12\cdot7}{2} $$

$$ A=\frac{84}{2} $$

$$ A=42 $$

Por tanto:

$$ A=42\text{ m}^2 $$

Observación importante

Dos triángulos pueden tener formas distintas y, sin embargo, tener la misma área si tienen la misma base y la misma altura.

Por eso, para calcular el área no necesitamos conocer la longitud de todos los lados, sino únicamente la base y la altura.

Área del romboide

Un romboide es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos y tienen la misma longitud.

Aunque sus lados estén inclinados, su área se calcula igual que la de un rectángulo.

Para calcular el área de un romboide multiplicamos la base por la altura.

$$ A=b\cdot h $$

donde:

• $A$ es el área.
• $b$ es la base.
• $h$ es la altura.

¿Por qué tiene la misma fórmula que el rectángulo?

Si recortamos un triángulo de un extremo del romboide y lo colocamos en el otro extremo, obtenemos un rectángulo con la misma base y la misma altura.

Como la superficie no cambia, el área también es la misma.

Ejemplo resuelto

Un romboide tiene:

• Base = 9 cm
• Altura = 4 cm

Aplicamos la fórmula:

$$ A=9\cdot4 $$

$$ A=36 $$

Por tanto:

$$ A=36\text{ cm}^2 $$

Otro ejemplo resuelto

Calcula el área de un romboide cuya base mide 15 m y cuya altura mide 8 m.

$$ A=15\cdot8 $$

$$ A=120 $$

Por tanto:

$$ A=120\text{ m}^2 $$

Área del rombo

El rombo tiene cuatro lados iguales, pero su área no se calcula multiplicando lado por lado.

Para calcular el área de un rombo utilizamos sus diagonales.

$$ A=\frac{D\cdot d}{2} $$

donde:

• $D$ es la diagonal mayor.
• $d$ es la diagonal menor.

¿Por qué funciona esta fórmula?

Las diagonales dividen el rombo en cuatro triángulos.

Al reorganizar estas partes se obtiene una figura equivalente cuya área es la mitad del producto de las diagonales.

Ejemplo resuelto

Un rombo tiene:

• Diagonal mayor = 12 cm
• Diagonal menor = 8 cm

Aplicamos la fórmula:

$$ A=\frac{12\cdot8}{2} $$

$$ A=\frac{96}{2} $$

$$ A=48 $$

Por tanto:

$$ A=48\text{ cm}^2 $$

Área del trapecio

Un trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos llamados bases.

La base más larga se denomina base mayor y suele representarse mediante la letra $B$.

La base más corta se denomina base menor y suele representarse mediante la letra $b$.

Para calcular el área de un trapecio sumamos las dos bases, multiplicamos el resultado por la altura y dividimos entre 2.

$$ A=\frac{(B+b)\cdot h}{2} $$

donde:

• $A$ es el área.
• $B$ es la base mayor.
• $b$ es la base menor.
• $h$ es la altura.

¿Por qué funciona esta fórmula?

Si unimos dos trapecios iguales obtenemos un romboide.

La base de ese romboide mide:

$$ B+b $$

y su altura es la misma que la del trapecio.

Como el trapecio ocupa exactamente la mitad del romboide formado, debemos dividir entre 2.

Ejemplo resuelto

Un trapecio tiene:

• Base mayor = 10 cm
• Base menor = 6 cm
• Altura = 5 cm

Aplicamos la fórmula:

$$ A=\frac{(10+6)\cdot5}{2} $$

$$ A=\frac{16\cdot5}{2} $$

$$ A=\frac{80}{2} $$

$$ A=40 $$

Por tanto:

$$ A=40\text{ cm}^2 $$

Otro ejemplo resuelto

Calcula el área de un trapecio cuya base mayor mide 15 m, cuya base menor mide 9 m y cuya altura mide 4 m.

$$ A=\frac{(15+9)\cdot4}{2} $$

$$ A=\frac{24\cdot4}{2} $$

$$ A=\frac{96}{2} $$

$$ A=48 $$

Por tanto:

$$ A=48\text{ m}^2 $$

Área de polígonos regulares y apotema

Un polígono regular es un polígono que tiene todos sus lados iguales y todos sus ángulos iguales.

Son polígonos regulares, por ejemplo:

• El triángulo equilátero.
• El cuadrado.
• El pentágono regular.
• El hexágono regular.

¿Qué es la apotema?

La apotema es el segmento que une el centro de un polígono regular con el punto medio de cualquiera de sus lados.

La apotema siempre es perpendicular al lado sobre el que se apoya.

Suele representarse mediante la letra:

$$ a $$

Importancia de la apotema

La apotema nos permite calcular el área de cualquier polígono regular.

Cuanto mayor sea la apotema, mayor será también la superficie del polígono.

Área de un polígono regular

Para calcular el área de un polígono regular multiplicamos su perímetro por la apotema y dividimos el resultado entre 2.

$$ A=\frac{P\cdot a}{2} $$

donde:

• $A$ es el área.
• $P$ es el perímetro.
• $a$ es la apotema.

Ejemplo resuelto

Un pentágono regular tiene:

• Perímetro = 40 cm
• Apotema = 5 cm

Aplicamos la fórmula:

$$ A=\frac{40\cdot5}{2} $$

$$ A=\frac{200}{2} $$

$$ A=100 $$

Por tanto:

$$ A=100\text{ cm}^2 $$

Área del hexágono regular

El hexágono regular es uno de los polígonos regulares más utilizados en geometría.

Su área se calcula utilizando exactamente la misma fórmula:

$$ A=\frac{P\cdot a}{2} $$

Ejemplo resuelto

Un hexágono regular tiene:

• Lado = 6 cm
• Apotema = 5,2 cm

Primero calculamos el perímetro:

$$ P=6\cdot6=36\text{ cm} $$

Ahora aplicamos la fórmula del área:

$$ A=\frac{36\cdot5,2}{2} $$

$$ A=\frac{187,2}{2} $$

$$ A=93,6 $$

Por tanto:

$$ A=93,6\text{ cm}^2 $$

Área del círculo

En el apartado anterior hemos conocido el número $\pi$, que aparece al estudiar las circunferencias. Ese mismo número también se utiliza para calcular el área de los círculos. El círculo es la superficie interior limitada por una circunferencia.

Para calcular el área de un círculo utilizamos la fórmula:

$$ A=\pi r^2 $$

donde:

• $A$ es el área.
• $\pi$ es aproximadamente 3,14.
• $r$ es el radio.

Ejemplo resuelto

Calcula el área de un círculo de radio 5 cm.

Aplicamos la fórmula:

$$ A=3,14\cdot5^2 $$

Calculamos primero la potencia:

$$ 5^2=25 $$

Sustituimos:

$$ A=3,14\cdot25 $$

$$ A=78,5 $$

Por tanto:

$$ A=78,5\text{ cm}^2 $$

Otro ejemplo resuelto

Calcula el área de un círculo de radio 8 m.

$$ A=3,14\cdot8^2 $$

$$ A=3,14\cdot64 $$

$$ A=200,96 $$

Por tanto:

$$ A=200,96\text{ m}^2 $$

Resumen de fórmulas

Aplicación de perímetros y áreas

Los cálculos de perímetros y áreas aparecen constantemente en la vida cotidiana.

Nos permiten calcular longitudes, superficies y cantidades de materiales necesarios para construir, decorar o mantener espacios.

Ejemplo resuelto: vallar un jardín

Un jardín rectangular mide 12 m de largo y 8 m de ancho.

Queremos colocar una valla alrededor de todo el jardín.

Calculamos el perímetro:

$$ P=2\cdot(12+8) $$

$$ P=2\cdot20 $$

$$ P=40 $$

Por tanto:

$$ P=40\text{ m} $$

Necesitaremos 40 metros de valla.

Ejemplo resuelto: cubrir un suelo

Una habitación rectangular mide 6 m de largo y 4 m de ancho.

Queremos colocar baldosas en todo el suelo.

Calculamos el área:

$$ A=6\cdot4 $$

$$ A=24 $$

Por tanto:

$$ A=24\text{ m}^2 $$

Será necesario cubrir una superficie de 24 metros cuadrados.

Ejemplo resuelto: una zona circular

Una fuente tiene forma circular y su radio mide 3 m.

Calculamos el área:

$$ A=\pi r^2 $$

$$ A=3,14\cdot3^2 $$

$$ A=3,14\cdot9 $$

$$ A=28,26 $$

Por tanto:

$$ A=28,26\text{ m}^2 $$

La superficie ocupada por la fuente es de 28,26 metros cuadrados.