Bloque III. Magnitudes y medida
Superficie y volumen
Concepto de superficie
¿Qué es una superficie?
La superficie es la parte exterior de una figura plana o de un objeto.
Cuando observamos una mesa desde arriba, una hoja de papel, una pared o la pantalla de una tableta, estamos viendo una superficie.
La superficie ocupa una determinada extensión. Algunas superficies son pequeñas y otras son más grandes.
Por ejemplo:
- La superficie de una tarjeta es pequeña.
- La superficie de una puerta es mayor.
- La superficie de una pista deportiva es mucho mayor.
Comparación de superficies
Podemos comparar superficies para saber cuál ocupa más espacio.
Observa los siguientes ejemplos:
- La superficie de un folio es mayor que la de una tarjeta de visita.
- La superficie de una mesa suele ser mayor que la de un libro.
- La superficie de un campo de fútbol es mayor que la de una pista de baloncesto.
Cuando una superficie ocupa más espacio que otra, decimos que tiene una superficie mayor.
La superficie y el área
En Matemáticas utilizamos la palabra área para expresar la medida de una superficie.
Por ejemplo:
- Dos figuras pueden tener superficies diferentes.
- La figura con mayor superficie tendrá también mayor área.
En este tema aprenderemos cómo medir superficies utilizando distintas unidades de medida. Más adelante estudiaremos cómo calcular el área de diferentes figuras geométricas.
La superficie es la parte de una figura u objeto que ocupa una determinada extensión.
El área es la medida de esa superficie.
Unidades de superficie
¿Cómo se mide una superficie?
Para medir una superficie necesitamos una unidad de medida.
La unidad se coloca sobre la superficie tantas veces como sea necesario hasta cubrirla completamente.
En las medidas de superficie utilizamos cuadrados como unidades de medida.
Por ejemplo, si una figura puede cubrirse exactamente con 12 cuadrados iguales, diremos que su superficie es de 12 unidades cuadradas.
El metro cuadrado
La unidad principal de superficie en el Sistema Métrico Decimal es el metro cuadrado.
Un metro cuadrado se representa mediante el símbolo:
$$ 1\ m^2 $$
Un metro cuadrado es la superficie de un cuadrado cuyos lados miden un metro.
Múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado
Además del metro cuadrado existen otras unidades de superficie.
| Unidad | Símbolo | Equivale a |
|---|---|---|
| Kilómetro cuadrado | $km^2$ | 1 000 000 $m^2$ |
| Hectómetro cuadrado | $hm^2$ | 10 000 $m^2$ |
| Decámetro cuadrado | $dam^2$ | 100 $m^2$ |
| Metro cuadrado | $m^2$ | 1 $m^2$ |
| Decímetro cuadrado | $dm^2$ | 0,01 $m^2$ |
| Centímetro cuadrado | $cm^2$ | 0,0001 $m^2$ |
| Milímetro cuadrado | $mm^2$ | 0,000001 $m^2$ |
Unidades agrarias
Para medir superficies grandes, como terrenos o campos, se utilizan con frecuencia estas unidades:
| Unidad | Símbolo | Equivale a |
|---|---|---|
| Área | a | 100 $m^2$ |
| Hectárea | ha | 10 000 $m^2$ |
Por ejemplo:
- Un jardín puede medir 250 $m^2$.
- Un campo agrícola puede medir varias hectáreas.
Concepto de volumen
¿Qué es el volumen?
El volumen es la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo en tres dimensiones.
Los objetos que tienen largo, ancho y alto ocupan un determinado volumen.
Por ejemplo:
- Una caja ocupa un cierto volumen.
- Un armario ocupa un volumen mayor que una caja.
- Un autobús ocupa un volumen mucho mayor que una bicicleta.
Cuando comparamos dos cuerpos, el que ocupa más espacio tiene mayor volumen.
La diferencia entre superficie y volumen
La superficie y el volumen son magnitudes diferentes.
La superficie mide la extensión exterior de una figura o de un objeto.
El volumen mide el espacio que ocupa un cuerpo.
Observa estos ejemplos:
- La superficie de una hoja de papel se puede medir en centímetros cuadrados.
- El volumen de una caja se puede medir en centímetros cúbicos.
La superficie mide una parte exterior.
El volumen mide el espacio ocupado por un cuerpo.
¿Cómo se mide el volumen?
Para medir un volumen utilizamos cubos iguales llamados cubos unidad.
Si un cuerpo puede llenarse exactamente con 24 cubos unidad, diremos que su volumen es de 24 unidades cúbicas.
Unidades de volumen
El metro cúbico
La unidad principal de volumen en el Sistema Métrico Decimal es el metro cúbico.
Se representa mediante el símbolo:
$$ 1\ m^3 $$
Un metro cúbico es el volumen de un cubo cuyos lados miden un metro.
Múltiplos y submúltiplos del metro cúbico
Además del metro cúbico existen otras unidades de volumen.
| Unidad | Símbolo |
|---|---|
| Kilómetro cúbico | $km^3$ |
| Hectómetro cúbico | $hm^3$ |
| Decámetro cúbico | $dam^3$ |
| Metro cúbico | $m^3$ |
| Decímetro cúbico | $dm^3$ |
| Centímetro cúbico | $cm^3$ |
| Milímetro cúbico | $mm^3$ |
Relación entre las unidades de volumen
Al pasar de una unidad de volumen a la siguiente, cada paso multiplica o divide por 1 000.
Esto ocurre porque las unidades de volumen tienen tres dimensiones.
Por ejemplo:
$$ 1\ m^3 = 1000\ dm^3 $$
$$ 1\ dm^3 = 1000\ cm^3 $$
$$ 1\ cm^3 = 1000\ mm^3 $$
Ejemplos
Convertimos 3 m³ a dm³.
Sabemos que:
$$ 1\ m^3 = 1000\ dm^3 $$
Por tanto:
$$ 3\ m^3 = 3 \cdot 1000 = 3000\ dm^3 $$
Convertimos 5 dm³ a cm³.
Sabemos que:
$$ 1\ dm^3 = 1000\ cm^3 $$
Por tanto:
$$ 5\ dm^3 = 5 \cdot 1000 = 5000\ cm^3 $$
Relación entre volumen y capacidad
Volumen y capacidad
El volumen y la capacidad son magnitudes diferentes, pero están estrechamente relacionadas.
- El volumen mide el espacio que ocupa un cuerpo.
- La capacidad mide la cantidad de líquido que puede contener un recipiente.
Por ejemplo:
- El volumen de una caja se puede medir en metros cúbicos.
- La capacidad de una botella se puede medir en litros.
Equivalencia entre volumen y capacidad
Existe una relación muy importante entre las unidades de volumen y las unidades de capacidad:
$$ 1\ dm^3 = 1\ L $$
Esto significa que un recipiente con un volumen de un decímetro cúbico puede contener exactamente un litro de líquido.
También se cumplen las siguientes equivalencias:
$$ 1\ cm^3 = 1\ mL $$
$$ 1\ m^3 = 1000\ L $$
Equivalencias más utilizadas
| Volumen | Capacidad |
|---|---|
| $1\ cm^3$ | $1\ mL$ |
| $1\ dm^3$ | $1\ L$ |
| $1\ m^3$ | $1000\ L$ |
Estas equivalencias permiten pasar fácilmente de unas unidades a otras.
Ejemplos
Convertimos 4 dm³ a litros.
Sabemos que:
$$ 1\ dm^3 = 1\ L $$
Por tanto:
$$ 4\ dm^3 = 4\ L $$
Convertimos 250 cm³ a mililitros.
Sabemos que:
$$ 1\ cm^3 = 1\ mL $$
Por tanto:
$$ 250\ cm^3 = 250\ mL $$
Convertimos 3 m³ a litros.
Sabemos que:
$$ 1\ m^3 = 1000\ L $$
Por tanto:
$$ 3\ m^3 = 3 \cdot 1000 = 3000\ L $$
Cambios de unidad
Cambios de unidad de superficie
Las unidades de superficie avanzan de cien en cien porque representan áreas.
| km² | hm² | dam² | m² | dm² | cm² | mm² |
|---|
Para pasar a una unidad menor multiplicamos por 100 en cada salto.
Para pasar a una unidad mayor dividimos entre 100 en cada salto.
Ejemplos
Convertimos 3 m² a dm².
De m² a dm² hay un salto.
Multiplicamos por 100:
$$ 3 \cdot 100 = 300 $$
Por tanto:
$$ 3\ m^2 = 300\ dm^2 $$
Convertimos 5 m² a cm².
De m² a cm² hay dos saltos.
Multiplicamos por 100 dos veces:
$$ 5 \cdot 100 \cdot 100 = 5 \cdot 10\,000 = 50\,000 $$
Por tanto:
$$ 5\ m^2 = 50\,000\ cm^2 $$
Cambios de unidad de volumen
Las unidades de volumen avanzan de mil en mil porque representan cuerpos con tres dimensiones.
| km³ | hm³ | dam³ | m³ | dm³ | cm³ | mm³ |
|---|
Para pasar a una unidad menor multiplicamos por 1000 en cada salto.
Para pasar a una unidad mayor dividimos entre 1000 en cada salto.
Ejemplos
Convertimos 2 m³ a dm³.
De m³ a dm³ hay un salto.
Multiplicamos por 1000:
$$ 2 \cdot 1000 = 2000 $$
Por tanto:
$$ 2\ m^3 = 2000\ dm^3 $$
Convertimos 4 dm³ a mm³.
De dm³ a mm³ hay dos saltos.
Multiplicamos por 1000 dos veces:
$$ 4 \cdot 1000 \cdot 1000 = 4\,000\,000 $$
Por tanto:
$$ 4\ dm^3 = 4\,000\,000\ mm^3 $$
Observa la diferencia
- Longitud: cada salto ×10.
- Superficie: cada salto ×100.
- Volumen: cada salto ×1000.
Esto ocurre porque las longitudes tienen una dimensión, las superficies tienen dos dimensiones y los volúmenes tienen tres dimensiones.
Resolución de problemas
Cuando resolvemos problemas relacionados con superficies, volúmenes o capacidades es importante identificar primero qué magnitud estamos utilizando.
- Si medimos una superficie, utilizaremos unidades cuadradas.
- Si medimos un volumen, utilizaremos unidades cúbicas.
- Si medimos la capacidad de un recipiente, utilizaremos litros o mililitros.
Problema resuelto 1
Una habitación rectangular mide 6 m de largo y 4 m de ancho.
¿Cuál es la superficie del suelo?
Calculamos el área del rectángulo:
$$ A = base \times altura $$
$$ A = 6 \times 4 = 24 $$
Por tanto, la superficie del suelo es:
$$ 24\ m^2 $$
Problema resuelto 2
Un depósito tiene una capacidad de 500 L.
¿Cuántos metros cúbicos son?
Sabemos que:
$$ 1\ m^3 = 1000\ L $$
Por tanto:
$$ 500 \div 1000 = 0,5 $$
Luego:
$$ 500\ L = 0,5\ m^3 $$
Problema resuelto 3
Una caja tiene un volumen de 8 dm³.
¿Cuántos litros puede contener?
Sabemos que:
$$ 1\ dm^3 = 1\ L $$
Por tanto:
$$ 8\ dm^3 = 8\ L $$
La caja puede contener 8 litros.