Números decimales

Décimas, centésimas y milésimas

La unidad y sus partes

Hasta ahora hemos trabajado principalmente con números naturales. Sin embargo, en muchas situaciones necesitamos representar cantidades menores que una unidad.

Por ejemplo:

• 1,5 litros de agua.
• 2,75 euros.
• 1,82 metros de altura.
• 0,5 kilogramos de fruta.

Para representar estas cantidades utilizamos los números decimales.

Los números decimales se escriben utilizando una coma que separa la parte entera de la parte decimal.

Ejemplos:

• 3,5
• 12,75
• 0,8
• 145,032

La parte situada a la izquierda de la coma indica las unidades completas.

La parte situada a la derecha de la coma indica partes de una unidad.

Las décimas

Si dividimos una unidad en 10 partes iguales, cada parte recibe el nombre de décima.

Una décima se representa así:

$$ \frac{1}{10} $$

También puede escribirse como:

$$ 0,1 $$

Por tanto:

$$ 1\text{ décima} = \frac{1}{10} = 0,1 $$

Algunas equivalencias importantes:

Las centésimas

Si dividimos una unidad en 100 partes iguales, cada parte recibe el nombre de centésima.

Una centésima se representa así:

$$ \frac{1}{100} $$

También puede escribirse como:

$$ 0,01 $$

Por tanto:

$$ 1\text{ centésima} = \frac{1}{100} = 0,01 $$

Algunas equivalencias:

Las milésimas

Si dividimos una unidad en 1 000 partes iguales, cada parte recibe el nombre de milésima.

Una milésima se representa así:

$$ \frac{1}{1000} $$

También puede escribirse como:

$$ 0,001 $$

Por tanto:

$$ 1\text{ milésima} = \frac{1}{1000} = 0,001 $$

Algunas equivalencias:

Relación entre décimas, centésimas y milésimas

Cada orden decimal es diez veces más pequeño que el anterior.

Observa que:

• 10 décimas forman 1 unidad.
• 10 centésimas forman 1 décima.
• 10 milésimas forman 1 centésima.
• 1 000 milésimas forman 1 unidad.

Por ejemplo:

$$ 10 \times 0,1 = 1 $$

$$ 10 \times 0,01 = 0,1 $$

$$ 10 \times 0,001 = 0,01 $$

Representación gráfica de las partes decimales

En la imagen podemos observar:

• Una unidad completa.
• Una décima.
• Una centésima.
• Una milésima.

La representación gráfica ayuda a comprender que cuanto más dividimos la unidad, más pequeñas son las partes obtenidas.

Lectura y escritura de números decimales

Partes de un número decimal

Un número decimal está formado por dos partes separadas por una coma:

• La parte entera.
• La parte decimal.

Por ejemplo:

$$ 34,725 $$

La parte entera indica las unidades completas.

La parte decimal indica partes de una unidad.

Lectura de números decimales

Para leer un número decimal:

1. Se lee la parte entera.
2. Se dice "coma".
3. Se lee la parte decimal.

Ejemplos:

Esta forma de lectura es la más utilizada y la más sencilla.

Lectura utilizando órdenes decimales

También podemos leer los números decimales indicando el orden decimal de la última cifra.

Ejemplos:

Observa:

$$ 0,5 = \frac{5}{10} $$

$$ 0,25 = \frac{25}{100} $$

$$ 0,125 = \frac{125}{1000} $$

Escritura de números decimales

Para escribir correctamente un número decimal debemos colocar la coma en la posición adecuada.

Ejemplos:

El cero en los números decimales

Los ceros pueden aparecer en distintas posiciones.

Observa estos ejemplos:

La posición del cero cambia completamente el valor del número.

Por ejemplo:

$$ 0,5 > 0,05 > 0,005 $$

Decimales equivalentes

Añadir ceros al final de la parte decimal no cambia el valor del número.

Ejemplos:

$$ 0,5 = 0,50 = 0,500 $$

$$ 3,2 = 3,20 = 3,200 $$

Todos representan exactamente la misma cantidad.

Valor posicional de las cifras decimales

Órdenes decimales

Al igual que en los números naturales cada cifra tiene un valor según la posición que ocupa, en los números decimales ocurre exactamente lo mismo.

A la izquierda de la coma encontramos los órdenes de unidades que ya conocemos:

A la derecha de la coma aparecen los órdenes decimales:

d = décimas

c = centésimas

m = milésimas

Observa la tabla completa:

Valor de cada cifra

Veamos el número:

$$ 25,347 $$

Por tanto:

$$ 25,347 = 20 + 5 + 0,3 + 0,04 + 0,007 $$

Cada cifra aporta una cantidad diferente según la posición que ocupa.

Descomposición de números decimales

Podemos descomponer un número decimal igual que hacíamos con los números naturales.

Ejemplo 1

Número:

$$ 8,25 $$

Descomposición:

$$ 8 + 0,2 + 0,05 $$

Ejemplo 2

Número:

$$ 43,706 $$

Descomposición:

$$ 40 + 3 + 0,7 + 0,006 $$

Observa que la cifra 0 ocupa una posición aunque no aporte valor.

Relación entre los órdenes decimales

Cada orden decimal es diez veces menor que el anterior.

Por ello:

• 10 décimas = 1 unidad.
• 10 centésimas = 1 décima.
• 10 milésimas = 1 centésima.

Ejemplos:

$$ 10 \times 0,1 = 1 $$

$$ 10 \times 0,01 = 0,1 $$

$$ 10 \times 0,001 = 0,01 $$

Comparación del valor de una misma cifra

La misma cifra puede tener valores muy diferentes dependiendo de la posición que ocupe.

Observa el valor del número 5 en los siguientes ejemplos:

Cada vez que desplazamos una cifra una posición hacia la derecha, su valor se divide entre 10.

Tabla de valor posicional

Podemos utilizar una tabla para colocar correctamente las cifras de un número decimal.

Ejemplo:

Número:

$$ 307,425 $$

Esta tabla nos ayuda a identificar rápidamente el valor de cada cifra.

Comparación y ordenación de decimales

Comparación de números decimales

Para comparar números decimales seguimos estos pasos:

1. Comparamos la parte entera.
2. Si las partes enteras son iguales, comparamos las décimas.
3. Si las décimas son iguales, comparamos las centésimas.
4. Si las centésimas son iguales, comparamos las milésimas.
5. Continuamos hasta encontrar una diferencia.

Comparación cuando las partes enteras son diferentes

El número que tiene la parte entera mayor es el mayor.

Ejemplos:

$$ 8,25 > 7,99 $$

porque:

$$ 8 > 7 $$

$$ 15,3 < 21,1 $$

porque:

$$ 15 < 21 $$

Comparación cuando las partes enteras son iguales

Si la parte entera es la misma, debemos comparar las cifras decimales de izquierda a derecha.

Ejemplo:

Comparar:

$$ 4,7 \quad \text{y} \quad 4,3 $$

Las partes enteras son iguales:

$$ 4 = 4 $$

Comparamos las décimas:

$$ 7 > 3 $$

Por tanto:

$$ 4,7 > 4,3 $$

Comparación de centésimas

Ejemplo:

Comparar:

$$ 5,28 \quad \text{y} \quad 5,24 $$

Las partes enteras son iguales:

$$ 5 = 5 $$

Las décimas son iguales:

$$ 2 = 2 $$

Comparamos las centésimas:

$$ 8 > 4 $$

Por tanto:

$$ 5,28 > 5,24 $$

Comparación de milésimas

Ejemplo:

Comparar:

$$ 3,417 \quad \text{y} \quad 3,412 $$

Las partes enteras son iguales:

$$ 3 = 3 $$

Las décimas son iguales:

$$ 4 = 4 $$

Las centésimas son iguales:

$$ 1 = 1 $$

Comparamos las milésimas:

$$ 7 > 2 $$

Por tanto:

$$ 3,417 > 3,412 $$

Uso de ceros para comparar

A veces resulta útil añadir ceros al final de la parte decimal.

Ejemplo:

Comparar:

$$ 4,5 \quad \text{y} \quad 4,35 $$

Podemos escribir:

$$ 4,5 = 4,50 $$

Ahora resulta más fácil comparar:

Como:

$$ 5 > 3 $$

obtenemos:

$$ 4,50 > 4,35 $$

Por tanto:

$$ 4,5 > 4,35 $$

Errores frecuentes

Muchos alumnos creen que:

$$ 0,25 > 0,8 $$

porque 25 es mayor que 8.

Esto es incorrecto.

Podemos escribir:

$$ 0,8 = 0,80 $$

Ahora comparamos:

Como:

$$ 8 > 2 $$

obtenemos:

$$ 0,80 > 0,25 $$

Por tanto:

$$ 0,8 > 0,25 $$

Orden creciente

Ordenar en orden creciente significa colocar los números de menor a mayor.

Ejemplo:

Ordena:

$$ 3,5 \quad 2,75 \quad 3,05 \quad 2,8 $$

Comparamos los números:

$$ 2,75 < 2,8 < 3,05 < 3,5 $$

Orden creciente:

$$ 2,75 \;<\; 2,8 \;<\; 3,05 \;<\; 3,5 $$

Orden decreciente

Ordenar en orden decreciente significa colocar los números de mayor a menor.

Con los mismos números:

$$ 3,5 \;>\; 3,05 \;>\; 2,8 \;>\; 2,75 $$

Comparación en la recta numérica

Los números decimales también pueden representarse en una recta numérica.

En una recta numérica:

• Los números mayores están más a la derecha.
• Los números menores están más a la izquierda.
• Cuanto más alejados están dos números, mayor es la diferencia entre ellos.

Aproximación y redondeo de decimales

¿Qué significa aproximar un número decimal?

En muchas situaciones no necesitamos conocer un valor exacto. Basta con una cantidad cercana que sea más fácil de leer, recordar o utilizar en los cálculos.

Por ejemplo:

• La altura de una persona puede ser 1,684 m.
• La masa de un paquete puede ser 2,347 kg.
• El precio de un producto puede ser 15,987 €.

A menudo resulta más práctico utilizar valores aproximados.

El símbolo:

$$ \approx $$

se lee aproximadamente igual a.

Por ejemplo:

$$ 1,684 \approx 1,7 $$

Redondeo a las décimas

Para redondear un número a las décimas observamos la cifra de las centésimas.

Regla

• Si la centésima es menor que 5, dejamos igual la décima.
• Si la centésima es 5 o mayor, aumentamos una unidad la décima.

Ejemplo:

Redondear:

$$ 3,47 $$

Observamos la centésima:

$$ 7 $$

Como:

$$ 7 \geq 5 $$

aumentamos una unidad la décima:

$$ 3,47 \approx 3,5 $$

Redondear:

$$ 8,32 $$

Observamos la centésima:

$$ 2 $$

Como:

$$ 2 < 5 $$

dejamos igual la décima:

$$ 8,32 \approx 8,3 $$

Redondeo a las centésimas

Para redondear a las centésimas observamos la cifra de las milésimas.

Ejemplo:

Redondear:

$$ 5,286 $$

Observamos la milésima:

$$ 6 $$

Como:

$$ 6 \geq 5 $$

aumentamos una unidad la centésima:

$$ 5,286 \approx 5,29 $$

Redondear:

$$ 12,341 $$

Observamos la milésima:

$$ 1 $$

Como:

$$ 1 < 5 $$

obtenemos:

$$ 12,341 \approx 12,34 $$

Redondeo a las unidades

También podemos redondear un número decimal a la unidad más cercana.

Para ello observamos la cifra de las décimas.

Ejemplo:

$$ 7,8 $$

Como:

$$ 8 \geq 5 $$

obtenemos:

$$ 7,8 \approx 8 $$

$$ 12,3 $$

Como:

$$ 3 < 5 $$

obtenemos:

$$ 12,3 \approx 12 $$

Casos especiales

A veces el redondeo produce un cambio en varias cifras.

Ejemplo:

$$ 4,98 $$

Redondeado a las décimas:

La centésima es:

$$ 8 $$

Por tanto:

$$ 4,98 \approx 5,0 $$

Otro ejemplo:

$$ 9,996 $$

Redondeado a las centésimas:

La milésima es:

$$ 6 $$

Por tanto:

$$ 9,996 \approx 10,00 $$

Utilidad del redondeo

El redondeo es muy útil para:

• Realizar estimaciones rápidas.
• Comprobar resultados.
• Simplificar cálculos.
• Comunicar cantidades de forma más sencilla.

Resumen visual del redondeo

Por tanto:

• Para redondear a una posición observamos siempre la cifra situada inmediatamente a su derecha.
• Si esa cifra es menor que 5, dejamos igual la cifra que queremos conservar.
• Si esa cifra es 5 o mayor, aumentamos una unidad la cifra que queremos conservar.

Operaciones con números decimales

Suma de números decimales

Para sumar números decimales debemos colocar las cifras de manera que las comas queden alineadas en la misma columna.

Ejemplo:

Observa que:

$$ 7,8 = 7,80 $$

Por tanto:

$$ 23,45 + 7,80 = 31,25 $$

Regla para sumar números decimales

1. Coloca los números alineando las comas.
2. Completa con ceros si es necesario.
3. Suma como si fueran números naturales.
4. Coloca la coma en la misma posición.

Resta de números decimales

La resta se realiza de forma similar.

Ejemplo:

Podemos escribir:

$$ 45,8 = 45,80 $$

Entonces:

$$ 45,80 - 12,35 = 33,45 $$

Regla para restar números decimales

1. Alinea las comas.
2. Completa con ceros cuando sea necesario.
3. Resta como si fueran números naturales.
4. Coloca la coma en el resultado.

Multiplicación de un decimal por un número natural

Primero multiplicamos ignorando la coma.

Después colocamos la coma contando las cifras decimales del factor decimal.

Ejemplo:

Como 3,25 tiene dos cifras decimales:

$$ 325 \times 4 = 1300 $$

Resultado:

$$ 3,25 \times 4 = 13,00 = 13 $$

Multiplicación de números decimales

Ejemplo:

$$ 2,5 \times 1,2 $$

Ignoramos las comas:

$$ 25 \times 12 = 300 $$

Entre ambos factores hay:

• 1 cifra decimal en 2,5
• 1 cifra decimal en 1,2

Total:

2 cifras decimales.

Por tanto:

$$ 300 \rightarrow 3,00 $$

Resultado:

$$ 2,5 \times 1,2 = 3 $$

División de un decimal entre un número natural

Ejemplo:

Resultado:

$$ 18,6 \div 3 = 6,2 $$

La coma se coloca cuando ya no quedan cifras enteras por bajar.

División entre 10, 100 y 1 000

Estas divisiones son muy sencillas.

Dividir entre 10:

$$ 45,7 \div 10 = 4,57 $$

Dividir entre 100:

$$ 45,7 \div 100 = 0,457 $$

Dividir entre 1\,000:

$$ 45,7 \div 1\,000 = 0,0457 $$

La coma se desplaza hacia la izquierda.

Multiplicación por 10, 100 y 1 000

Multiplicar por 10:

$$ 4,58 \times 10 = 45,8 $$

Multiplicar por 100:

$$ 4,58 \times 100 = 458 $$

Multiplicar por 1\,000:

$$ 4,58 \times 1\,000 = 4\,580 $$

La coma se desplaza hacia la derecha.

Operaciones combinadas con decimales

Las reglas son las mismas que ya conocemos:

1. Paréntesis.
2. Multiplicaciones y divisiones.
3. Sumas y restas.

Ejemplo:

$$ 3,5 + 2 \times 4 $$

Primero:

$$ 2 \times 4 = 8 $$

Después:

$$ 3,5 + 8 = 11,5 $$

Relación entre fracciones y decimales

Fracciones decimales

Una fracción decimal es una fracción cuyo denominador es una potencia de 10.

Por ejemplo:

$$ \frac{3}{10} \qquad \frac{25}{100} \qquad \frac{347}{1000} $$

Estas fracciones pueden escribirse fácilmente como números decimales.

Pasar de fracción a decimal

Cuando el denominador es 10, 100 o 1 000, basta con colocar la coma en la posición adecuada.

Ejemplo 1

$$ \frac{7}{10} $$

Resultado:

$$ 0,7 $$

Ejemplo 2

$$ \frac{35}{100} $$

Resultado:

$$ 0,35 $$

Ejemplo 3

$$ \frac{428}{1000} $$

Resultado:

$$ 0,428 $$

Pasar de decimal a fracción

Para convertir un decimal en fracción observamos cuántas cifras tiene la parte decimal.

Una cifra decimal

$$ 0,4 = \frac{4}{10} $$

Dos cifras decimales

$$ 0,35 = \frac{35}{100} $$

Tres cifras decimales

$$ 0,428 = \frac{428}{1000} $$

Simplificación de la fracción obtenida

Una vez obtenida la fracción podemos simplificarla.

Ejemplo:

$$ 0,5 = \frac{5}{10} $$

Simplificando:

$$ \frac{5}{10} = \frac{1}{2} $$

Por tanto:

$$ 0,5 = \frac{1}{2} $$

Otro ejemplo:

$$ 0,75 = \frac{75}{100} $$

Simplificando:

$$ \frac{75}{100} = \frac{3}{4} $$

Por tanto:

$$ 0,75 = \frac{3}{4} $$

Equivalencias frecuentes

La misma cantidad escrita de formas diferentes

Una misma cantidad puede escribirse como:

• Fracción.
• Número decimal.
• Porcentaje.

Por ejemplo:

$$ \frac{1}{2} = 0,5 = 50\% $$

$$ \frac{3}{4} = 0,75 = 75\% $$

Más adelante estudiaremos con detalle la relación entre fracciones, decimales y porcentajes.

Representación gráfica de una misma cantidad

En la imagen podemos observar que una misma cantidad puede expresarse mediante una fracción, un número decimal o un porcentaje.