Números naturales

Los números naturales

El conjunto de los números naturales $\mathbb{N}$

Los números naturales forman un conjunto numérico que se representa mediante la letra $\mathbb{N}$.

Este conjunto está formado por los números que utilizamos habitualmente para contar y ordenar elementos:

$$ \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, \ldots\} $$

Nosotros consideraremos que el número 0 forma parte del conjunto de los números naturales, aunque hay autores que opinan que el 0 no forma parte de este conjunto.

Los números naturales tienen varias características importantes:

• No tienen parte decimal.
• No existen números negativos dentro de este conjunto.
• Son infinitos, ya que siempre podemos obtener un número mayor sumando una unidad al anterior.

Por ejemplo:

• Después de 25 viene 26.
• Después de 1 000 viene 1 001.
• Después de 1 000 000 viene 1 000 001.

Por esta razón decimos que el conjunto de los números naturales es infinito.

Utilidad de los números naturales en la vida cotidiana

Los números naturales aparecen constantemente en nuestra vida diaria. Nos permiten contar, ordenar e identificar elementos.

Algunos ejemplos son:

• El número de alumnos de una clase.
• Los goles marcados por un equipo.
• El número de páginas de un libro.
• La cantidad de habitantes de una ciudad.
• El número de una vivienda.
• La posición obtenida en una competición.

Ejemplo:

Si en una biblioteca hay 4 582 libros, el número 4 582 es un número natural porque expresa una cantidad de elementos.

Relación de los números naturales con otros conjuntos numéricos

A medida que las Matemáticas fueron avanzando, surgió la necesidad de representar cantidades que los números naturales no podían expresar.

Por ejemplo:

• Las temperaturas bajo cero requieren números negativos.
• Las partes de una unidad requieren fracciones.
• Muchas medidas utilizan números decimales.

Por ello aparecieron otros conjuntos numéricos.

Los números naturales forman parte de conjuntos más amplios:

$$ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} $$

donde:

• $\mathbb{N}$ representa los números naturales.
• $\mathbb{Z}$ representa los números enteros.
• $\mathbb{Q}$ representa los números racionales.

Esto significa que todos los números naturales son también números enteros y todos los números enteros son también números racionales.

Por ejemplo:

• $8$ pertenece a $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ y $\mathbb{Q}$.
• $-5$ pertenece a $\mathbb{Z}$ y $\mathbb{Q}$, pero no a $\mathbb{N}$.
• $\dfrac{3}{4}$ pertenece a $\mathbb{Q}$, pero no a $\mathbb{Z}$ ni a $\mathbb{N}$.

En este tema trabajaremos únicamente con los números naturales. Más adelante estudiaremos los demás conjuntos numéricos con mayor profundidad.

Curiosidad matemática

La letra $\mathbb{N}$ procede de la palabra "naturales". Del mismo modo, $\mathbb{Z}$ proviene de la palabra alemana Zahlen (números) y $\mathbb{Q}$ de la palabra inglesa quotient (cociente).

Lectura y escritura de números naturales

Lectura de números de varias cifras

Los números naturales pueden tener una o muchas cifras. Para leer correctamente un número grande, agrupamos sus cifras de tres en tres comenzando por la derecha.

Por ejemplo:

• 125
• 4 582
• 37 945
• 1 250 000
• 12 345 678

Cada grupo de tres cifras recibe un nombre:

Ejemplos:

• 5 432 se lee cinco mil cuatrocientos treinta y dos.
• 82 715 se lee ochenta y dos mil setecientos quince.
• 3 450 000 se lee tres millones cuatrocientos cincuenta mil.
• 27 305 918 se lee veintisiete millones trescientos cinco mil novecientos dieciocho.

Cómo leer números grandes:

1. Separa las cifras en grupos de tres.
2. Lee cada grupo de izquierda a derecha.
3. Añade el nombre correspondiente (millones, miles, etc.).
4. Termina leyendo el grupo de unidades.

Ejemplo para la lectura:

Al escribir números con palabras debemos respetar las normas ortográficas del español.

Observa algunos ejemplos:

• dieciséis
• veintidós
• veintitrés
• veintiséis

Estas palabras llevan tilde porque así lo establecen las reglas de acentuación.

Errores frecuentes

Uso correcto de los espacios para separar grupos de cifras

Cuando escribimos números grandes, es recomendable separar las cifras en grupos de tres utilizando espacios.

Por ejemplo:

Correcto:

• 12 345
• 567 890
• 3 450 781

Esta forma de escribir los números facilita su lectura y reduce errores.

¿Por qué usamos espacios? Observa la diferencia:

• 12345678
• 12 345 678

La segunda forma resulta mucho más fácil de leer.

Ejemplos:

Sin embargo, todavía es frecuente encontrar puntos como separadores de miles en periódicos, libros o documentos administrativos.

Valor posicional de las cifras

Unidades, decenas y centenas

Nuestro sistema de numeración es un sistema decimal, lo que significa que está basado en grupos de diez.

Las diez cifras que utilizamos para escribir todos los números son:

$$ \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} $$

La posición que ocupa una cifra dentro de un número determina su valor. Las tres primeras posiciones son:

Por ejemplo, el número 345:

Por tanto:

345 = 300 + 40 + 5

Unidades de millar, decenas de millar y centenas de millar

Cuando superamos las centenas aparecen nuevos órdenes de unidades.

Relaciones importantes:

• 10 centenas = 1 unidad de millar
• 10 unidades de millar = 1 decena de millar
• 10 decenas de millar = 1 centena de millar

Ejemplo:

En el número 582 314:

Por tanto:

582 314 = 500 000 + 80 000 + 2 000 + 300 + 10 + 4

Unidades de millón y órdenes superiores

Los números pueden seguir creciendo indefinidamente. Después de las centenas de millar aparecen los millones.

Ejemplo:

En el número 324 305 781:

Por tanto:

324 305 781 = 300 000 000 + 20 000 000 + 4 000 000 + 300 000 + 5 000 + 700 + 80 + 1

Los matemáticos pueden seguir añadiendo órdenes de unidades sin límite porque los números naturales son infinitos.

Importancia de la posición de cada cifra

Una misma cifra puede representar valores muy diferentes dependiendo de la posición que ocupe. Observa el número 5 en los siguientes ejemplos:

La cifra es la misma, pero su valor cambia según la posición que ocupa.

Ejemplo. Observa el número 7 248 531:

Cada cifra aporta una cantidad distinta al valor total del número.

Potencias de base 10

Potencias de 10

Las potencias son una forma abreviada de escribir multiplicaciones repetidas.

Por ejemplo:

• 10 × 10 = 100
• 10 × 10 × 10 = 1 000
• 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000

Estas multiplicaciones pueden escribirse mediante potencias:

• $10^1 = 10$
• $10^2 = 100$
• $10^3 = 1\,000$
• $10^4 = 10\,000$

En una potencia:

• El número que se multiplica se llama base.
• El número que indica cuántas veces se multiplica la base por sí misma se llama exponente.

Ejemplo:

En $10^3$:

• Base = 10
• Exponente = 3

Esto significa:

$10^³ = 10 \times 10 \times 10 = 1\,000$

Algunas potencias de 10:

Relación entre las potencias de 10 y el sistema decimal

Nuestro sistema de numeración es decimal porque cada orden de unidades vale diez veces más que el anterior. Observa:

Cada vez que avanzamos una posición hacia la izquierda multiplicamos por 10. Por ejemplo:

• 1 unidad = 1
• 10 unidades = 1 decena
• 10 decenas = 1 centena
• 10 centenas = 1 unidad de millar

Por esta razón utilizamos las potencias de 10 para representar los distintos órdenes de unidades. Observa:

Si añadimos un cero a la derecha de un número, lo estamos multiplicando por 10.

Ejemplos:

• $7 \times 10 = 70$
• $7 \times 100 = 700$
• $7 \times 1\,000 = 7\,000$

Uso de las potencias de 10 para expresar órdenes de unidades

Las potencias de 10 nos permiten expresar fácilmente el valor de cada cifra dentro de un número. Tomemos como ejemplo el número:

4 582

Sabemos que:

• 4 está en las unidades de millar.
• 5 está en las centenas.
• 8 está en las decenas.
• 2 está en las unidades.

Podemos expresar cada cifra mediante potencias de 10:

Esto significa:

• $4 \times 1\,000 = 4\,000$
• $5 \times 100 = 500$
• $8 \times 10 = 80$
• $2 \times 1 = 2$

Y al sumarlos obtenemos:

$4\,000 + 500 + 80 + 2 = 4\,582$

Recuerda que cualquier número diferente de cero que esté elevado a cero es 1.

Ejemplo

Número: 73 406

Observa que incluso cuando una posición contiene un cero, esa posición sigue existiendo dentro del número.

Composicion y descomposición de números naturales

Descomposición aditiva

Descomponer un número consiste en expresarlo como una suma de cantidades más simples. La forma más habitual es la descomposición aditiva, en la que cada cifra aporta el valor que le corresponde según su posición.

Ejemplo 1

Número: 4 582

4 582 = 4 000 + 500 + 80 + 2

Ejemplo 2

Número: 73 406

73 406 = 70 000 + 3 000 + 400 + 6

Observa que las posiciones ocupadas por un cero no aportan ninguna cantidad a la suma.

Ejemplo 3

Número: 8 205 030

8 205 030 = 8 000 000 + 200 000 + 5 000 + 30

La descomposición aditiva permite comprender mejor el valor de cada cifra dentro del número.

Descomposición mediante el valor posicional

También podemos descomponer un número indicando cuántas unidades hay de cada orden.

Ejemplo 1

Número: 4 582

Podemos expresar esta información así:

4 UM + 5 C + 8 D + 2 U

Ejemplo 2

Número: 37 245

Descomposición:

3 DM + 7 UM + 2 C + 4 D + 5 U

Esta forma de descomponer ayuda a identificar rápidamente la posición de cada cifra.

Descomposición utilizando potencias de 10

Las potencias de 10 permiten expresar matemáticamente el valor de cada cifra. Cada cifra se multiplica por la potencia de 10 correspondiente a su posición.

Ejemplo 1

Número: 4 582

Comprobación: - $4 \cdot 1\,000 = 4\,000$ - $5 \cdot 100 = 500$ - $8 \cdot 10 = 80$ - $2 \cdot 1 = 2$

Resultado:

4 000 + 500 + 80 + 2 = 4 582

Ejemplo 2

Número: 73 406

Observa que la cifra 0 ocupa una posición dentro del número y por eso aparece multiplicada por $10^¹$.

Comparación de los tres métodos

Tomemos el número 12 305:

Descomposición aditiva

12 305 = 10 000 + 2 000 + 300 + 5

Descomposición por valor posicional

1 DM + 2 UM + 3 C + 0 D + 5 U

Descomposición mediante potencias de 10

$1 \cdot 10^4 + 2 \cdot 10^3 + 3 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0$

Las tres expresiones representan exactamente el mismo número.

Comparación y ordenación de números naturales

Comparación de números

Comparar números consiste en determinar cuál es mayor, cuál es menor o si ambos tienen el mismo valor. Para comparar números naturales podemos seguir estos pasos:

Paso 1. Comparar el número de cifras

El número que tiene más cifras es el mayor.

Ejemplo 1:

• 4 582 > 983
• 12 345 > 9 999
• 105 000 > 98 765

Paso 2. Comparar las cifras de izquierda a derecha

Si ambos números tienen el mismo número de cifras, se comparan las cifras comenzando por la izquierda.

Ejemplo 2:

Comparar 54 321 y 52 999.

Como 4 > 2, concluimos que:

54 321 > 52 999

Ejemplo 3

Comparar 87 456 y 87 493.

Como 5 < 9:

87 456 < 87 493

Uso de los símbolos $>$, $\geq$, $\lt$, $\leq$ e $=$

Para expresar comparaciones utilizamos los siguientes símbolos:

Ejemplos

• $45 \gt 32$
• $45 \geq 32$
• $128 \lt 256$
• $4\,500 \leq 4\,500$
• $4\,500 = 4\,500$

Orden creciente y decreciente

Ordenar números consiste en colocarlos siguiendo una regla determinada.

Orden creciente

Los números se colocan de menor a mayor.

Ejemplo:

15, 42, 108, 356, 1 240

Observamos que cada número es mayor que el anterior.

Orden decreciente

Los números se colocan de mayor a menor.

Ejemplo:

1 240, 356, 108, 42, 15

Observamos que cada número es menor que el anterior.

Ejemplo:

Ordena de menor a mayor:

85, 805, 58, 508 y 850

Primero observamos el número de cifras:

• 58
• 85
• 508
• 805
• 850

Orden creciente:

$58 < 85 < 508 < 805 < 850$

Orden decreciente:

$850 > 805 > 508 > 85 > 58$

Representación en rectas numéricas

La recta numérica nos permite representar y ordenar números de forma visual. En una recta numérica:

• Los números aumentan hacia la derecha.
• Los números disminuyen hacia la izquierda.
• Cada número ocupa una posición determinada.

Ejemplo:

Observa que:

• 8 está a la derecha de 5, por lo que 8 > 5.
• 3 está a la izquierda de 7, por lo que 3 < 7.

Ejemplo:

Situamos los números 2, 5 y 8 en una recta.

Podemos concluir que:

2 < 5 < 8

Aproximación y redondeo

En muchas situaciones no es necesario conocer una cantidad exacta. A menudo basta con una cantidad aproximada que facilite los cálculos o la comunicación de la información.

Por ejemplo, es más sencillo decir que una ciudad tiene aproximadamente 50 000 habitantes que indicar el número exacto de habitantes.

El redondeo nos permite sustituir un número por otro cercano que sea más fácil de manejar.

El símbolo $\approx$ significa aproximadamente.

Redondeo a la decena

Para redondear un número a la decena más cercana observamos la cifra de las unidades.

Regla

• Si la cifra de las unidades es menor que 5, se redondea hacia abajo.
• Si la cifra de las unidades es 5 o mayor que 5, se redondea hacia arriba.

Ejemplos:

42

La cifra de las unidades es 2.

Como 2 < 5:

42 $\approx$ 40

68

La cifra de las unidades es 8.

Como 8 > 5:

68 $\approx$ 70

Utilizando la recta numérica

El número 42 está más cerca de 40 que de 50, por eso se redondea a 40.

Redondeo a la centena

Para redondear un número a la centena más cercana observamos la cifra de las decenas.

Regla

• Si la cifra de las decenas es menor que 5, se redondea hacia abajo.
• Si la cifra de las decenas es 5 o mayor que 5, se redondea hacia arriba.

Ejemplos

342

La cifra de las decenas es 4.

Como 4 < 5:

342 $\approx$ 300

378

La cifra de las decenas es 7.

Como 7 $\geq$ 5:

378 $\approx$ 400

1 452

La cifra de las decenas es 5.

Como 5 $\geq$ 5:

1 452 $\approx$ 1 500

Redondeo al millar

Para redondear un número al millar más cercano observamos la cifra de las centenas.

Regla

• Si la cifra de las centenas es menor que 5, se redondea hacia abajo.
• Si la cifra de las centenas es 5 o mayor que 5, se redondea hacia arriba.

Ejemplos

4 231

La cifra de las centenas es 2.

Como 2 < 5:

4 231 $\approx$ 4 000

4 781

La cifra de las centenas es 7.

Como 7 $\geq$ 5:

4 781 $\approx$ 5 000

12 500

La cifra de las centenas es 5.

Como 5 $\geq$ 5:

12 500 $\approx$ 13 000

Estimación de cantidades

La estimación consiste en obtener un valor aproximado sin realizar cálculos exactos. La estimación es muy útil para:

• Comprobar resultados.
• Resolver problemas rápidamente.
• Detectar errores en los cálculos.

Ejemplo

Calcula aproximadamente:

198 + 304

Podemos redondear:

198 $\approx$ 200

304 $\approx$ 300

Entonces:

200 + 300 = 500

La suma exacta es:

198 + 304 = 502

Nuestra estimación es muy cercana al resultado real.

Ejemplo

Calcula aproximadamente:

4 985 − 1 992

Redondeamos:

4 985 $\approx$ 5 000

1 992 $\approx$ 2 000

Entonces:

5 000 − 2 000 = 3 000

La diferencia exacta es:

4 985 − 1 992 = 2 993

La estimación vuelve a ser muy próxima al resultado real.

¿Qué diferencia hay entre aproximar y estimar?

Aproximar consiste en sustituir un número por otro cercano siguiendo una regla de redondeo.

Ejemplo

378 $\approx$ 400

Estimar consiste en utilizar aproximaciones para obtener rápidamente un resultado cercano al exacto.

Ejemplo

378 + 621 $\approx$ 400 + 600 = 1 000

Numeración romana

Origen y utilidad actual de los números romanos

Antes de que se extendiera el sistema de numeración que utilizamos actualmente, muchas civilizaciones desarrollaron sus propios sistemas para representar cantidades. Uno de los más conocidos es el sistema de numeración romano, utilizado en la antigua Roma.

Aunque hoy usamos habitualmente los números arábigos $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$, los números romanos siguen apareciendo en muchos lugares. Algunos ejemplos son:

• Relojes.
• Capítulos y tomos de libros.
• Siglos.
• Congresos y certámenes.
• Nombres de reyes y papas.
• Monumentos históricos.

Ejemplos:

• Siglo $XXI$.
• Felipe $VI$.
• Juan Pablo $II$.
• Juegos Olímpicos $XXXIII$.

Los números romanos se utilizan principalmente para numerar y ordenar elementos.

Símbolos fundamentales: $I$, $V$, $X$, $L$, $C$, $D$ y $M$

La numeración romana utiliza siete símbolos básicos.

Todos los números romanos se construyen combinando estos siete símbolos.

Reglas básicas de escritura

Para escribir correctamente números romanos debemos seguir algunas reglas.

1. Las letras $I$, $X$, $C$ y $M$ se pueden repetir hasta tres veces seguidas y se suman sus valores. Por ejemplo:

   • $II$ = 2
   • $III$ = 3
   • $XX$ = 20
   • $XXX$ = 30
   • $CCC$ = 300

   No se pueden repetir más de tres veces consecutivas.

   Incorrecto:

   • $IIII$
   • $XXXX$

2. Una letra a la derecha de otra de mayor valor se suma con ella. Por ejemplo:

   • $VI = 5 + 1 = 6$
   • $VII = 5 + 2 = 7$
   • $XV = 10 + 5 = 15$
   • $LX = 50 + 10 = 60$

3. Las letras $I$, $X$ y $C$ escritas a la izquierda de otra de mayor valor se restan. Por ejemplo:

   • $IV = 5 − 1 = 4$
   • $IX = 10 − 1 = 9$
   • $XL = 50 − 10 = 40$
   • $XC = 100 − 10 = 90$
   • $CD = 500 − 100 = 400$
   • $CM = 1 000 − 100 = 900$

4. Una raya encima de una o varias letras multiplica su valor por 1 000. Por ejemplo:

   • $\overline{L} = 40\,000$
   • $\overline{IX} = 9\,000$

5. La $I$ solo se puede escribir a la izquierda de la $V$ y de la $X$.

   • $IX = 9 \rightarrow$ Correcto
   • $ID \rightarrow$ Incorrecto

6. La $X$ solo se puede escribir a la izquierda de la $L$ y de la $C$.

   • $XL = 40 \rightarrow$ Correcto
   • $XM \rightarrow$ Incorrecto

7. La $C$ solo se puede escribir a la izquierda de la $D$ y de la $M$.

   • $CM = 900 \rightarrow$ Correcto
   • $C\overline{L} \rightarrow$ Incorrecto

Conversión entre números romanos y arábigos

Podemos transformar números romanos en arábigos y viceversa.

De romano a arábigo. Ejemplos:

$XLVIII$

• $XL = 40$
• $VIII = 8$

Resultado:

48

$MCMLXXXV$

• $M = 1\,000$
• $CM = 900$
• $LXXX = 80$
• $V = 5$

Resultado:

1 985

De arábigo a romano

27

Descomponemos:

• $27 = 20 + 7$
• $20 = XX$
• $7 = VII$

Por tanto:

$27 = XXVII$

346

Descomponemos:

• $346 = 300 + 40 + 6$
• $300 = CCC$
• $40 = XL$
• $6 = VI$

Resultado:

$CCCXLVI$