Fracciones

Concepto de fracción

¿Qué es una fracción?

Una fracción representa una o varias partes de una unidad que ha sido dividida en partes iguales.

Por ejemplo, si una pizza se divide en 8 porciones iguales y comemos 3 porciones, hemos comido:

$$ \frac{3}{8} $$

La fracción $\frac{3}{8}$ indica que:

• La unidad se ha dividido en 8 partes iguales.
• Se han tomado 3 de esas partes.

Las fracciones permiten representar cantidades que son menores que una unidad, iguales a una unidad o mayores que una unidad.

La unidad

Para interpretar correctamente una fracción es fundamental saber cuál es la unidad.

La unidad puede ser:

• Una pizza.
• Una tableta de chocolate.
• Un litro de agua.
• Un segmento.
• Una figura geométrica.

Por ejemplo:

• $\frac{1}{2}$ de una pizza no representa la misma cantidad que $\frac{1}{2}$ de una barra de pan.
• En ambos casos la fracción es la misma, pero la unidad es diferente.

Las fracciones aparecen en la vida cotidiana

Las fracciones se utilizan constantemente en situaciones reales.

Algunos ejemplos son:

• Medio litro de leche: $\frac{1}{2}$ litro.
• Un cuarto de hora: $\frac{1}{4}$ de hora.
• Tres cuartos de una pizza: $\frac{3}{4}$.
• Cinco décimos de un metro: $\frac{5}{10}$ metro.

Interpretación de una fracción

Observemos la fracción:

$$ \frac{5}{7} $$

Esta fracción indica que una unidad ha sido dividida en 7 partes iguales y se han tomado 5 de ellas.

Las fracciones como números

Las fracciones son números y pueden situarse en la recta numérica igual que los números naturales.

Por ejemplo:

• $\frac{1}{2}$ representa la mitad de una unidad.
• $\frac{3}{2}$ representa una cantidad mayor que una unidad.
• $\frac{7}{4}$ representa una cantidad mayor que una unidad.

Más adelante aprenderemos a comparar, ordenar y operar con fracciones igual que hacemos con los números naturales.

Términos de una fracción

Numerador y denominador

Una fracción está formada por dos números separados por una línea horizontal.

Por ejemplo:

$$ \frac{3}{5} $$

En toda fracción distinguimos dos términos:

• El número situado arriba se llama numerador.
• El número situado abajo se llama denominador.

En la fracción:

$$ \frac{3}{5} $$

• 3 es el numerador.
• 5 es el denominador.

Significado del denominador

El denominador indica en cuántas partes iguales se ha dividido la unidad.

Por ejemplo:

$$ \frac{3}{5} $$

significa que la unidad se ha dividido en 5 partes iguales.

Otros ejemplos:

• En $\frac{2}{4}$ la unidad se divide en 4 partes iguales.
• En $\frac{7}{10}$ la unidad se divide en 10 partes iguales.
• En $\frac{1}{100}$ la unidad se divide en 100 partes iguales.

Cuanto mayor es el denominador, más pequeñas son las partes en las que se divide la unidad.

Significado del numerador

El numerador indica cuántas de las partes iguales se toman o se consideran.

Por ejemplo:

$$ \frac{3}{5} $$

significa que se toman 3 de las 5 partes iguales en las que se ha dividido la unidad.

Otros ejemplos:

• $\frac{2}{4}$ representa 2 de las 4 partes iguales.
• $\frac{7}{10}$ representa 7 de las 10 partes iguales.
• $\frac{15}{100}$ representa 15 de las 100 partes iguales.

Cómo se leen las fracciones

Para leer una fracción se dice primero el numerador y después el denominador utilizando su nombre correspondiente.

Algunos denominadores tienen nombres especiales:

Ejemplos:

• $\frac{3}{4}$ se lee tres cuartos.
• $\frac{5}{8}$ se lee cinco octavos.
• $\frac{7}{10}$ se lee siete décimos.
• $\frac{12}{100}$ se lee doce centésimos.

Casos especiales

Fracciones con numerador 0

Cuando el numerador es 0, no se toma ninguna parte de la unidad.

Por ejemplo:

$$ \frac{0}{5}=0 $$

y también:

$$ \frac{0}{12}=0 $$

Todas estas fracciones representan la cantidad 0.

Fracciones con denominador 1

Cuando el denominador es 1, la unidad no se divide.

Por ejemplo:

$$ \frac{5}{1}=5 $$

y

$$ \frac{12}{1}=12 $$

Estas fracciones representan números naturales.

Relación entre numerador y denominador

La relación entre el numerador y el denominador nos proporciona información importante sobre la fracción.

Por ejemplo:

• En $\frac{2}{5}$ se toman menos partes de las que tiene la unidad.
• En $\frac{5}{5}$ se toman todas las partes de la unidad.
• En $\frac{8}{5}$ se toman más partes de las que tiene una unidad.

Más adelante estudiaremos estas situaciones con detalle al trabajar las fracciones propias, impropias y los números mixtos.

Fracciones unitarias

Una fracción unitaria es una fracción cuyo numerador es 1.

Ejemplos:

$$ \frac{1}{2},\quad \frac{1}{3},\quad \frac{1}{4},\quad \frac{1}{10} $$

Todas estas fracciones representan una única parte de la unidad.

Por ejemplo:

• $\frac{1}{2}$ representa una de las dos partes iguales en las que se divide la unidad.
• $\frac{1}{4}$ representa una de las cuatro partes iguales en las que se divide la unidad.
• $\frac{1}{10}$ representa una de las diez partes iguales en las que se divide la unidad.

Las fracciones unitarias son especialmente importantes porque cualquier fracción puede interpretarse como una suma de fracciones unitarias.

Por ejemplo:

$$ \frac{3}{5} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5} $$

Fracciones decimales

Las fracciones decimales son aquellas cuyo denominador es una potencia de 10.

Por ejemplo:

$$ \frac{3}{10}, \quad \frac{25}{100}, \quad \frac{478}{1000} $$

Estas fracciones son muy importantes porque permiten representar números decimales.

Observa:

$$ \frac{3}{10}=0,3 $$

$$ \frac{25}{100}=0,25 $$

$$ \frac{478}{1000}=0,478 $$

Más adelante estudiaremos con detalle la relación entre las fracciones decimales y los números decimales.

Representación gráfica de fracciones

Representar una fracción mediante dibujos

Las fracciones pueden representarse gráficamente mediante figuras divididas en partes iguales.

Para representar una fracción debemos seguir estos pasos:

1. Dibujar una unidad.
2. Dividirla en tantas partes iguales como indique el denominador.
3. Colorear tantas partes como indique el numerador.

Por ejemplo, para representar la fracción:

$$ \frac{3}{4} $$

debemos:

• Dividir la unidad en 4 partes iguales.
• Colorear 3 de esas partes.

Importancia de las partes iguales

Para que una representación sea correcta, todas las partes deben tener el mismo tamaño.

Observa los siguientes ejemplos:

En la primera figura la representación es correcta porque todas las partes son iguales.

En la segunda figura la representación es incorrecta porque las partes tienen tamaños diferentes.

Distintas formas de representar una misma fracción

Una misma fracción puede representarse utilizando figuras diferentes.

Por ejemplo, la fracción:

$$ \frac{2}{3} $$

puede representarse mediante:

• Rectángulos.
• Círculos.
• Barras.
• Otras figuras geométricas.

Aunque cambie la forma de la figura, la fracción sigue representando la misma cantidad.

Representación de fracciones mayores que la unidad

Algunas fracciones representan cantidades mayores que una unidad.

Por ejemplo:

$$ \frac{5}{4} $$

Significa que tenemos cinco cuartos.

Podemos representarlo utilizando dos unidades:

• Una unidad completa ($\frac{4}{4}$).
• Un cuarto de otra unidad ($\frac{1}{4}$).

Más adelante aprenderemos a expresar estas fracciones mediante números mixtos.

Representación en la recta numérica

Las fracciones también pueden representarse sobre una recta numérica.

Por ejemplo:

$$ \frac{1}{2} $$

se encuentra exactamente en el punto medio entre 0 y 1.

La recta numérica nos permite:

• Comparar fracciones.
• Ordenar fracciones.
• Comprender mejor su valor.

Fracciones propias e impropias

Las fracciones pueden clasificarse según la relación entre su numerador y su denominador.

Fracciones propias

Una fracción propia es aquella cuyo numerador es menor que el denominador.

Es decir:

$$ \text{numerador} < \text{denominador} $$

Ejemplos:

$$ \frac{1}{2},\quad \frac{3}{4},\quad \frac{5}{8} $$

En una fracción propia se toman menos partes de las que forman una unidad completa.

Por esta razón, todas las fracciones propias representan cantidades menores que 1.

Por ejemplo:

$$ \frac{3}{4}<1 $$

$$ \frac{5}{8}<1 $$

Fracciones iguales a la unidad

Cuando el numerador y el denominador son iguales, la fracción representa exactamente una unidad.

Por ejemplo:

$$ \frac{1}{1}=1 $$

$$ \frac{5}{5}=1 $$

$$ \frac{12}{12}=1 $$

Esto ocurre porque se toman todas las partes en las que se ha dividido la unidad.

Las fracciones iguales a la unidad pueden considerarse un caso particular de las fracciones aparentes.

Fracciones impropias

Una fracción impropia es aquella cuyo numerador es mayor que el denominador.

Es decir:

$$ \text{numerador} > \text{denominador} $$

Ejemplos:

$$ \frac{5}{4},\quad \frac{7}{3},\quad \frac{12}{5} $$

En una fracción impropia se toman más partes de las que contiene una unidad.

Por esta razón, todas las fracciones impropias representan cantidades mayores que 1.

Por ejemplo:

$$ \frac{5}{4}>1 $$

$$ \frac{7}{3}>1 $$

La fracción:

$$ \frac{5}{4} $$

significa que se toman cinco cuartos. Como una unidad completa contiene cuatro cuartos, la cantidad representada es mayor que una unidad.

Fracciones aparentes

Una fracción aparente es una fracción cuyo numerador es múltiplo del denominador.

Ejemplos:

$$ \frac{4}{4},\quad \frac{8}{4},\quad \frac{15}{5} $$

Aunque se escriben como fracciones, pueden simplificarse hasta obtener un número natural.

Observa:

$$ \frac{4}{4}=1 $$

$$ \frac{8}{4}=2 $$

$$ \frac{15}{5}=3 $$

Todas las fracciones aparentes pueden simplificarse hasta obtener un número natural.

Comparación entre los distintos tipos

Podemos resumir las diferencias principales en la siguiente tabla:

Ejemplos:

Relación con la unidad

La unidad nos ayuda a interpretar rápidamente cualquier fracción.

• Las fracciones propias representan menos de una unidad.
• Las fracciones impropias representan más de una unidad.
• Las fracciones aparentes representan una o varias unidades completas.

Esta idea será muy importante en el siguiente apartado, donde aprenderemos a escribir algunas fracciones impropias mediante números mixtos.

Números mixtos

¿Qué es un número mixto?

Un número mixto está formado por:

• Una parte entera.
• Una parte fraccionaria.

Por ejemplo:

$$ 1\frac{1}{4} $$

se lee:

uno y un cuarto.

Este número indica que tenemos:

• 1 unidad completa.
• 1 cuarto de otra unidad.

Los números mixtos permiten representar de forma sencilla algunas fracciones impropias.

Relación entre fracciones impropias y números mixtos

Toda fracción impropia puede escribirse como un número mixto.

Por ejemplo:

$$ \frac{5}{4} $$

significa que tenemos cinco cuartos. Observa la imagen:

Como:

$$ \frac{4}{4}=1 $$

podemos escribir:

$$ \frac{5}{4}=1\frac{1}{4} $$

Otro ejemplo:

$$ \frac{9}{4} $$

Como:

$$ \frac{8}{4}=2 $$

entonces:

$$ \frac{9}{4}=2\frac{1}{4} $$

Convertir una fracción impropia en un número mixto

Para transformar una fracción impropia en un número mixto seguimos estos pasos:

1. Dividimos el numerador entre el denominador.
2. El cociente será la parte entera.
3. El resto será el numerador de la parte fraccionaria.
4. El denominador no cambia.

Ejemplo 1

Convertir:

$$ \frac{11}{3} $$

Dividimos:

$$ 11 \div 3 = 3 $$

Resto:

$$ 2 $$

Por tanto:

$$ \frac{11}{3}=3\frac{2}{3} $$

Ejemplo 2

Convertir:

$$ \frac{17}{5} $$

Dividimos:

$$ 17 \div 5 = 3 $$

Resto:

$$ 2 $$

Por tanto:

$$ \frac{17}{5}=3\frac{2}{5} $$

Convertir un número mixto en una fracción impropia

También podemos realizar el proceso contrario.

Para ello:

1. Multiplicamos la parte entera por el denominador.
2. Sumamos el numerador.
3. El resultado será el nuevo numerador.
4. El denominador permanece igual.

Ejemplo 1

Convertir:

$$ 2\frac{3}{5} $$

Multiplicamos:

$$ 2 \cdot 5 = 10 $$

Sumamos:

$$ 10 + 3 = 13 $$

Resultado:

$$ 2\frac{3}{5}=\frac{13}{5} $$

Ejemplo 2

Convertir:

$$ 4\frac{2}{7} $$

Multiplicamos:

$$ 4 \cdot 7 = 28 $$

Sumamos:

$$ 28 + 2 = 30 $$

Resultado:

$$ 4\frac{2}{7}=\frac{30}{7} $$

Comprobación

Podemos comprobar que ambos procesos son inversos.

Por ejemplo:

$$ \frac{13}{5} = 2\frac{3}{5} $$

y

$$ 2\frac{3}{5} = \frac{13}{5} $$

Representan exactamente la misma cantidad.

¿Cuándo utilizamos números mixtos?

Los números mixtos suelen utilizarse cuando una cantidad contiene varias unidades completas y una parte adicional.

Por ejemplo:

• $2\frac{1}{2}$ litros.
• $3\frac{3}{4}$ metros.
• $1\frac{1}{4}$ pizzas.

En muchos casos resultan más fáciles de interpretar que las fracciones impropias equivalentes.

Por ejemplo:

$$ 2\frac{1}{2} $$

es más intuitivo que:

$$ \frac{5}{2} $$

aunque ambos números representan exactamente la misma cantidad.

Fracciones equivalentes

¿Qué son las fracciones equivalentes?

Dos o más fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad aunque estén escritas con números diferentes.

Por ejemplo:

$$ \frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{4}{8} $$

Todas estas fracciones representan exactamente la misma parte de la unidad.

Aunque los números cambian, la cantidad representada no cambia.

Cómo obtener fracciones equivalentes

Podemos obtener una fracción equivalente multiplicando o dividiendo el numerador y el denominador por el mismo número distinto de cero.

Por ejemplo, partimos de:

$$ \frac{1}{2} $$

Multiplicamos numerador y denominador por 2:

$$ \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} $$

Multiplicamos por 3:

$$ \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6} $$

Multiplicamos por 4:

$$ \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} $$

Todas estas fracciones son equivalentes.

Amplificación de fracciones

Amplificar una fracción consiste en multiplicar su numerador y su denominador por el mismo número.

La fracción obtenida es equivalente a la original.

Ejemplo 1

Amplificar:

$$ \frac{3}{5} $$

por 2.

$$ \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10} $$

Por tanto:

$$ \frac{3}{5} = \frac{6}{10} $$

Ejemplo 2

Amplificar:

$$ \frac{4}{7} $$

por 3.

$$ \frac{4 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{12}{21} $$

Por tanto:

$$ \frac{4}{7} = \frac{12}{21} $$

Simplificación de fracciones

Simplificar una fracción consiste en dividir su numerador y su denominador por el mismo número.

La fracción obtenida sigue siendo equivalente a la original.

Ejemplo 1

Simplificar:

$$ \frac{8}{12} $$

Dividimos numerador y denominador entre 2:

$$ \frac{8 \div 2}{12 \div 2} = \frac{4}{6} $$

Todavía podemos seguir simplificando:

$$ \frac{4 \div 2}{6 \div 2} = \frac{2}{3} $$

Por tanto:

$$ \frac{8}{12} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $$

Ejemplo 2

Simplificar:

$$ \frac{15}{20} $$

Dividimos entre 5:

$$ \frac{15 \div 5}{20 \div 5} = \frac{3}{4} $$

Por tanto:

$$ \frac{15}{20} = \frac{3}{4} $$

Fracción irreducible

Una fracción irreducible es una fracción que ya no puede simplificarse.

Esto ocurre cuando el numerador y el denominador no tienen divisores comunes distintos de 1.

Por ejemplo:

$$ \frac{2}{3} $$

es irreducible porque 2 y 3 no tienen divisores comunes.

También son irreducibles:

$$ \frac{5}{7}, \quad \frac{8}{11}, \quad \frac{7}{9} $$

En cambio:

$$ \frac{12}{18} $$

no es irreducible porque puede simplificarse:

$$ \frac{12}{18} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} $$

¿Cómo saber si dos fracciones son equivalentes?

Dos fracciones son equivalentes si al simplificarlas obtenemos la misma fracción irreducible.

Ejemplo

Comparamos:

$$ \frac{12}{18} \qquad \frac{8}{12} $$

Simplificamos:

$$ \frac{12}{18} = \frac{2}{3} $$

$$ \frac{8}{12} = \frac{2}{3} $$

Como ambas se simplifican hasta la misma fracción, son equivalentes.

Utilidad de las fracciones equivalentes

Las fracciones equivalentes son fundamentales para:

• Simplificar fracciones.
• Comparar fracciones.
• Sumar y restar fracciones.
• Resolver problemas.
• Transformar fracciones en números decimales.

Por esta razón es uno de los conceptos más importantes de todo el tema.

Simplificación y amplificación de fracciones

En el apartado anterior aprendimos que las fracciones equivalentes representan la misma cantidad aunque estén escritas de forma diferente.

La amplificación y la simplificación son procedimientos que nos permiten obtener fracciones equivalentes de manera sistemática.

Amplificación paso a paso

Amplificar una fracción consiste en multiplicar su numerador y su denominador por el mismo número.

La fracción obtenida es equivalente a la original.

Ejemplo

Amplificar:

$$ \frac{2}{3} $$

por 4.

Multiplicamos:

$$ \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12} $$

Por tanto:

$$ \frac{2}{3} = \frac{8}{12} $$

Simplificación paso a paso

Simplificar una fracción consiste en dividir su numerador y su denominador por el mismo número.

La fracción obtenida sigue siendo equivalente a la original.

Ejemplo

Simplificar:

$$ \frac{18}{24} $$

Dividimos entre 2:

$$ \frac{18}{24} = \frac{9}{12} $$

Todavía podemos simplificar:

$$ \frac{9}{12} = \frac{3}{4} $$

Por tanto:

$$ \frac{18}{24} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} $$

Simplificación utilizando el MCD

Cuando conocemos el máximo común divisor podemos simplificar una fracción de forma directa.

Ejemplo

Simplificar:

$$ \frac{24}{36} $$

Calculamos:

$$ MCD(24,36)=12 $$

Dividimos numerador y denominador entre 12:

$$ \frac{24 \div 12}{36 \div 12} = \frac{2}{3} $$

La fracción irreducible es:

$$ \frac{2}{3} $$

Obtención de fracciones con el mismo denominador

Muchas veces necesitamos transformar varias fracciones para que tengan el mismo denominador.

Esto resulta muy útil para compararlas o realizar operaciones con ellas.

Ejemplo

Consideremos las fracciones:

$$ \frac{2}{3} \qquad \frac{5}{6} $$

Amplificamos la primera por 2:

$$ \frac{2}{3} = \frac{4}{6} $$

Ahora ambas tienen denominador 6:

$$ \frac{4}{6} \qquad \frac{5}{6} $$

Esto permite compararlas fácilmente.

Como:

$$ 4 < 5 $$

podemos concluir que:

$$ \frac{4}{6} < \frac{5}{6} $$

y por tanto:

$$ \frac{2}{3} < \frac{5}{6} $$

Utilidad de la simplificación y la amplificación

La simplificación y la amplificación permiten:

• Obtener fracciones equivalentes.
• Expresar una fracción de forma más sencilla.
• Comparar fracciones.
• Obtener denominadores comunes.
• Preparar operaciones con fracciones.

Estas técnicas se utilizarán continuamente en los apartados siguientes.

Comparación y ordenación de fracciones

Comparación de fracciones con el mismo denominador

Cuando dos fracciones tienen el mismo denominador, basta con comparar sus numeradores.

La fracción que tenga el numerador mayor será la mayor.

Ejemplos

$$ \frac{3}{8} < \frac{5}{8} $$

porque:

$$ 3 < 5 $$

y ambas fracciones están divididas en octavos.

También:

$$ \frac{11}{15} > \frac{7}{15} $$

porque:

$$ 11 > 7 $$

Comparación de fracciones con el mismo numerador

Cuando dos fracciones tienen el mismo numerador, la mayor es la que tiene el denominador menor.

Esto ocurre porque al dividir una unidad en menos partes, cada parte es más grande.

Ejemplos

$$ \frac{3}{4} > \frac{3}{5} $$

porque:

• En cuartos, cada parte es más grande.
• En quintos, cada parte es más pequeña.

También:

$$ \frac{7}{8} > \frac{7}{10} $$

Comparación de fracciones con denominadores distintos

Cuando las fracciones tienen numeradores y denominadores distintos, suele ser útil transformarlas en fracciones equivalentes con el mismo denominador.

Ejemplo

Comparar:

$$ \frac{2}{3} \qquad \frac{5}{6} $$

Buscamos un denominador común.

Amplificamos:

$$ \frac{2}{3} = \frac{4}{6} $$

Ahora podemos comparar:

$$ \frac{4}{6} < \frac{5}{6} $$

Por tanto:

$$ \frac{2}{3} < \frac{5}{6} $$

Ejemplo

Comparar:

$$ \frac{3}{4} \qquad \frac{5}{8} $$

Amplificamos:

$$ \frac{3}{4} = \frac{6}{8} $$

Ahora comparamos:

$$ \frac{6}{8} > \frac{5}{8} $$

Por tanto:

$$ \frac{3}{4} > \frac{5}{8} $$

Comparación utilizando la unidad

Muchas veces podemos comparar una fracción con la unidad sin hacer cálculos.

Fracciones menores que 1

Si el numerador es menor que el denominador:

$$ \frac{4}{7} < 1 $$

$$ \frac{9}{10} < 1 $$

Fracciones iguales a 1

Si el numerador es igual al denominador:

$$ \frac{5}{5} = 1 $$

$$ \frac{12}{12} = 1 $$

Fracciones mayores que 1

Si el numerador es mayor que el denominador:

$$ \frac{7}{4} > 1 $$

$$ \frac{15}{8} > 1 $$

Esta estrategia suele permitir comparar algunas fracciones muy rápidamente.

Ejemplo

Comparar:

$$ \frac{11}{12} \qquad \frac{13}{10} $$

Observamos que:

$$ \frac{11}{12} < 1 $$

y

$$ \frac{13}{10} > 1 $$

Por tanto:

$$ \frac{11}{12} < \frac{13}{10} $$

Ordenación de fracciones

Ordenar fracciones consiste en colocarlas de menor a mayor o de mayor a menor.

Ejemplo

Ordena de menor a mayor:

$$ \frac{1}{2}, \quad \frac{3}{4}, \quad \frac{5}{8} $$

Las expresamos con denominador 8:

$$ \frac{1}{2} = \frac{4}{8} $$

$$ \frac{3}{4} = \frac{6}{8} $$

$$ \frac{5}{8} = \frac{5}{8} $$

Ahora resulta fácil compararlas:

$$ \frac{4}{8} < \frac{5}{8} < \frac{6}{8} $$

Por tanto:

$$ \frac{1}{2} < \frac{5}{8} < \frac{3}{4} $$

Uso de los símbolos de comparación

Para comparar fracciones utilizamos los mismos símbolos que con los números naturales.

Ejemplos:

$$ \frac{2}{5} < \frac{4}{5} $$

$$ \frac{7}{3} > 1 $$

$$ \frac{6}{8} = \frac{3}{4} $$

Fracción de una cantidad

¿Qué significa calcular una fracción de una cantidad?

Calcular una fracción de una cantidad consiste en averiguar cuánto representa esa fracción de una cantidad determinada.

Por ejemplo:

• $\frac{1}{2}$ de 10.
• $\frac{3}{4}$ de 20.
• $\frac{2}{5}$ de 35.

En todos estos casos estamos buscando una parte de una cantidad conocida.

Método general

Para calcular una fracción de una cantidad seguimos estos pasos:

1. Dividimos la cantidad entre el denominador.
2. Multiplicamos el resultado por el numerador.

De forma esquemática:

$$ \text{Fracción de una cantidad} = \left( \text{cantidad} \div \text{denominador} \right) \cdot \text{numerador} $$

Fracciones unitarias

Cuando el numerador es 1, basta con dividir la cantidad entre el denominador.

Ejemplo 1

Calcular:

$$ \frac{1}{2} \text{ de } 18 $$

Dividimos:

$$ 18 \div 2 = 9 $$

Por tanto:

$$ \frac{1}{2} \text{ de } 18 = 9 $$

Ejemplo 2

Calcular:

$$ \frac{1}{4} \text{ de } 32 $$

Dividimos:

$$ 32 \div 4 = 8 $$

Por tanto:

$$ \frac{1}{4} \text{ de } 32 = 8 $$

Fracciones cualesquiera

Cuando el numerador es distinto de 1, primero dividimos y después multiplicamos.

Ejemplo 1

Calcular:

$$ \frac{3}{5} \text{ de } 40 $$

Dividimos:

$$ 40 \div 5 = 8 $$

Multiplicamos:

$$ 8 \cdot 3 = 24 $$

Resultado:

$$ \frac{3}{5} \text{ de } 40 = 24 $$

Ejemplo 2

Calcular:

$$ \frac{2}{3} \text{ de } 18 $$

Dividimos:

$$ 18 \div 3 = 6 $$

Multiplicamos:

$$ 6 \cdot 2 = 12 $$

Resultado:

$$ \frac{2}{3} \text{ de } 18 = 12 $$

Ejemplo 3

Calcular:

$$ \frac{7}{8} \text{ de } 64 $$

Dividimos:

$$ 64 \div 8 = 8 $$

Multiplicamos:

$$ 8 \cdot 7 = 56 $$

Resultado:

$$ \frac{7}{8} \text{ de } 64 = 56 $$

Comprobación del resultado

El resultado debe ser coherente con la fracción utilizada.

Por ejemplo:

$$ \frac{3}{4} \text{ de } 20 = 15 $$

Como:

$$ \frac{3}{4} < 1 $$

el resultado debe ser menor que 20.

Y efectivamente:

$$ 15 < 20 $$

Sin embargo:

$$ \frac{5}{4} \text{ de } 20 = 25 $$

Como:

$$ \frac{5}{4} > 1 $$

el resultado debe ser mayor que 20.

Y efectivamente:

$$ 25 > 20 $$

Aplicaciones cotidianas

Las fracciones de una cantidad aparecen en muchas situaciones reales.

Por ejemplo:

• La mitad de una clase.
• Tres cuartos de una pizza.
• Dos quintos de una colección.
• Un tercio de una hora.
• Siete décimos de un depósito de agua.

Ejemplo

Una biblioteca tiene 150 libros de aventuras.

Si $\frac{2}{5}$ de ellos están prestados:

$$ 150 \div 5 = 30 $$

$$ 30 \cdot 2 = 60 $$

Por tanto, hay:

$$ 60 $$

libros prestados.

Relación con la multiplicación de fracciones

También podemos calcular una fracción de una cantidad multiplicando la cantidad por la fracción.

Por ejemplo:

$$ \frac{3}{5} \text{ de } 40 = 40 \cdot \frac{3}{5} $$

Estudiaremos este procedimiento con detalle en el tema siguiente, dedicado a las operaciones con fracciones.