Bloque II. Números racionales
Porcentajes y proporcionalidad
Razones y proporciones
Razones
Una razón es una comparación entre dos cantidades mediante una división.
Las razones nos permiten saber cuántas veces una cantidad es mayor o menor que otra, o cómo se relacionan entre sí.
Por ejemplo, en una caja hay:
- 6 canicas rojas.
- 3 canicas azules.
La razón entre las canicas rojas y las azules es:
$$ \frac{6}{3}=2 $$
Esto significa que hay el doble de canicas rojas que de canicas azules.
También podemos expresar la razón como:
$$ 6:3 $$
que se lee:
"6 es a 3".
La razón 6:3 también puede simplificarse como 2:1.
Las razones pueden compararse entre cantidades de cualquier tipo:
- Alumnos y alumnas de una clase.
- Kilómetros recorridos y tiempo empleado.
- Ingredientes de una receta.
- Distancias en un mapa.
Representación de una razón
Una razón puede escribirse de tres formas equivalentes:
$$ \frac{6}{3} $$
$$ 6:3 $$
$$ 6 \div 3 $$
Las tres expresiones representan la misma comparación.
En una clase hay 12 niñas y 8 niños.
La razón entre niñas y niños es:
$$ \frac{12}{8} $$
o bien
$$ 12:8 $$
Esta razón indica que por cada 8 niños hay 12 niñas.
Simplificación de razones
Igual que ocurre con las fracciones, las razones pueden simplificarse.
Por ejemplo:
$$ 12:8 $$
Podemos dividir ambos términos entre 4:
$$ 12:8 = 3:2 $$
La razón simplificada sigue representando exactamente la misma relación.
La razón 15:10 se puede simplificar dividiendo ambos números entre 5:
$$ 15:10 = 3:2 $$
Ambas razones representan la misma comparación.
Proporciones
Una proporción es una igualdad entre dos razones.
Por ejemplo:
$$ \frac{2}{3}=\frac{4}{6} $$
Las dos razones son equivalentes porque representan la misma relación.
También podemos escribirla así:
$$ 2:3 = 4:6 $$
Cuando dos razones forman una proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
Observa:
$$ \frac{2}{3}=\frac{4}{6} $$
Multiplicamos los extremos:
$$ 2 \times 6 = 12 $$
Multiplicamos los medios:
$$ 3 \times 4 = 12 $$
Como ambos productos son iguales, existe una proporción.
Términos de una proporción
En la proporción
$$ \frac{2}{3}=\frac{4}{6} $$
los números 2 y 6 se llaman extremos.
Los números 3 y 4 se llaman medios.
Comprobación de una proporción
Para comprobar si dos razones forman una proporción:
- Multiplicamos los extremos.
- Multiplicamos los medios.
- Comparamos los resultados.
¿Forman una proporción las razones?
$$ \frac{3}{5} \qquad \frac{12}{20} $$
Multiplicamos los extremos:
$$ 3 \times 20 = 60 $$
Multiplicamos los medios:
$$ 5 \times 12 = 60 $$
Como ambos productos son iguales:
$$ \frac{3}{5}=\frac{12}{20} $$
Sí forman una proporción.
Utilidad de las proporciones
Las proporciones aparecen continuamente en la vida cotidiana.
Por ejemplo:
- Al ampliar o reducir fotografías.
- En recetas de cocina.
- En escalas de mapas y planos.
- En descuentos y porcentajes.
- En cálculos de velocidad y tiempo.
Más adelante veremos cómo las proporciones permiten resolver muchos problemas mediante la regla de tres.
Magnitudes proporcionales
En muchas situaciones, dos cantidades están relacionadas de manera que cuando una cambia, la otra también cambia.
Cuando existe una relación constante entre dos magnitudes, decimos que son magnitudes proporcionales.
Por ejemplo:
- Los kilómetros recorridos y el combustible consumido.
- El número de cuadernos comprados y el precio total.
- El número de trabajadores y el tiempo necesario para realizar una tarea.
Existen dos tipos principales de proporcionalidad:
- Proporcionalidad directa.
- Proporcionalidad inversa.
Magnitudes directamente proporcionales
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar una, la otra también aumenta en la misma proporción.
Del mismo modo, si una disminuye, la otra también disminuye en la misma proporción.
Por ejemplo, imagina que cada cuaderno cuesta 2 €.
| Cuadernos | Precio (€) |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 6 |
| 4 | 8 |
| 5 | 10 |
Observa que:
- Si el número de cuadernos se multiplica por 2, el precio también se multiplica por 2.
- Si el número de cuadernos se multiplica por 3, el precio también se multiplica por 3.
Por tanto, ambas magnitudes son directamente proporcionales.
Una bicicleta recorre 15 km en una hora.
| Tiempo (h) | Distancia (km) |
|---|---|
| 1 | 15 |
| 2 | 30 |
| 3 | 45 |
| 4 | 60 |
Si el tiempo se duplica, la distancia también se duplica.
Por tanto, tiempo y distancia son magnitudes directamente proporcionales.
Cómo reconocer una proporcionalidad directa
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando:
- Aumentan juntas.
- Disminuyen juntas.
- Al multiplicar una cantidad por un número, la otra también se multiplica por ese mismo número.
Por ejemplo:
| Kilogramos de manzanas | Precio (€) |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 2 | 6 |
| 3 | 9 |
| 4 | 12 |
Cada kilogramo cuesta siempre 3 €, por lo que existe proporcionalidad directa.
Magnitudes inversamente proporcionales
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una, la otra disminuye.
Y cuando una disminuye, la otra aumenta.
Por ejemplo, imaginemos que varios trabajadores realizan la misma tarea.
| Trabajadores | Días necesarios |
|---|---|
| 1 | 12 |
| 2 | 6 |
| 3 | 4 |
| 4 | 3 |
| 6 | 2 |
Observa que:
- Al duplicar el número de trabajadores, el tiempo se reduce a la mitad.
- Al triplicar el número de trabajadores, el tiempo se reduce a la tercera parte.
Por tanto, ambas magnitudes son inversamente proporcionales.
Una piscina se llena con varios grifos iguales.
| Grifos abiertos | Tiempo (horas) |
|---|---|
| 1 | 8 |
| 2 | 4 |
| 4 | 2 |
| 8 | 1 |
Cuantos más grifos se abren, menos tiempo tarda en llenarse la piscina.
Estas magnitudes son inversamente proporcionales.
Cómo reconocer una proporcionalidad inversa
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando:
- Una aumenta mientras la otra disminuye.
- Al multiplicar una cantidad por un número, la otra se divide por ese mismo número.
Por ejemplo:
- Más trabajadores → menos tiempo.
- Más velocidad → menos tiempo de viaje.
- Más grifos abiertos → menos tiempo de llenado.
Diferencias entre proporcionalidad directa e inversa
| Proporcionalidad directa | Proporcionalidad inversa |
|---|---|
| Las dos magnitudes aumentan o disminuyen juntas. | Cuando una aumenta, la otra disminuye. |
| Se multiplican por el mismo número. | Una se multiplica y la otra se divide por ese número. |
| Ejemplo: cuadernos y precio. | Ejemplo: trabajadores y tiempo. |
Más adelante veremos cómo utilizar estas relaciones para resolver problemas mediante la regla de tres.
Regla de tres simple
La regla de tres es un procedimiento que permite calcular un valor desconocido cuando conocemos una relación de proporcionalidad entre dos magnitudes.
Antes de utilizar una regla de tres debemos decidir si la relación es:
- Directamente proporcional.
- Inversamente proporcional.
Regla de tres directa
Utilizamos una regla de tres directa cuando las dos magnitudes aumentan o disminuyen juntas.
Por ejemplo:
- Más cuadernos → más precio.
- Más kilómetros → más combustible.
- Más horas de trabajo → más dinero cobrado.
3 cuadernos cuestan 6 €.
¿Cuánto costarán 5 cuadernos?
Organizamos los datos:
| Cuadernos | Precio (€) |
|---|---|
| 3 | 6 |
| 5 | x |
Planteamos la proporción:
$$ \frac{3}{5} = \frac{6}{x} $$
Multiplicamos en cruz:
$$ 3 \times x = 5 \times 6 $$
$$ 3x = 30 $$
Dividimos entre 3:
$$ x = 10 $$
Por tanto:
5 cuadernos cuestan 10 €.
Un coche recorre 120 km en 2 horas.
¿Cuántos kilómetros recorrerá en 5 horas a la misma velocidad?
| Tiempo (h) | Distancia (km) |
|---|---|
| 2 | 120 |
| 5 | x |
Aplicamos la regla de tres:
$$ 2 \times x = 5 \times 120 $$
$$ 2x = 600 $$
$$ x = 300 $$
El coche recorrerá:
$$ 300\text{ km} $$
Regla de tres inversa
Utilizamos una regla de tres inversa cuando una magnitud aumenta mientras la otra disminuye.
Por ejemplo:
- Más trabajadores → menos tiempo.
- Más velocidad → menos tiempo de viaje.
- Más grifos → menos tiempo de llenado.
4 trabajadores tardan 12 días en realizar una tarea.
¿Cuántos días tardarán 6 trabajadores?
| Trabajadores | Días |
|---|---|
| 4 | 12 |
| 6 | x |
Al aumentar el número de trabajadores, disminuye el tiempo.
La relación es inversamente proporcional.
Multiplicamos los valores de cada fila:
$$ 4 \times 12 = 48 $$
Buscamos el valor desconocido:
$$ 6 \times x = 48 $$
$$ x = 8 $$
Los 6 trabajadores tardarán:
$$ 8\text{ días} $$
Una piscina se llena en 10 horas utilizando 2 grifos.
¿Cuánto tardará utilizando 5 grifos iguales?
| Grifos | Tiempo (h) |
|---|---|
| 2 | 10 |
| 5 | x |
Calculamos:
$$ 2 \times 10 = 20 $$
$$ 5 \times x = 20 $$
$$ x = 4 $$
La piscina se llenará en:
$$ 4\text{ horas} $$
Importante
En una regla de tres inversa no podemos multiplicar en cruz directamente como en una regla de tres directa.
Primero debemos comprobar que una magnitud aumenta mientras la otra disminuye.
Cómo decidir si una regla de tres es directa o inversa
| Si una magnitud aumenta... | Entonces es... |
|---|---|
| y la otra también aumenta | Directa |
| y la otra disminuye | Inversa |
Antes de empezar cualquier regla de tres, pregúntate:
Si una magnitud aumenta, ¿la otra aumenta o disminuye?
La respuesta te indicará si debes utilizar una regla de tres directa o inversa.
Concepto de porcentaje
¿Qué es un porcentaje?
La palabra porcentaje significa "de cada cien".
El símbolo que representa los porcentajes es:
$$ \% $$
Por ejemplo:
- 1 % significa 1 de cada 100.
- 25 % significa 25 de cada 100.
- 50 % significa 50 de cada 100.
- 100 % significa 100 de cada 100.
Por tanto, un porcentaje puede interpretarse como una fracción con denominador 100.
Por ejemplo:
$$ 25\% = \frac{25}{100} $$
$$ 50\% = \frac{50}{100} $$
$$ 75\% = \frac{75}{100} $$
Los porcentajes aparecen constantemente en la vida cotidiana:
- Descuentos en tiendas.
- Notas de exámenes.
- Estadísticas.
- Encuestas.
- Resultados deportivos.
- Impuestos.
Interpretación gráfica de los porcentajes
Una forma muy sencilla de comprender los porcentajes consiste en imaginar una cuadrícula formada por 100 casillas iguales.
Cada casilla representa:
$$ 1\% $$
Por tanto:
- 10 casillas representan el 10 %.
- 25 casillas representan el 25 %.
- 50 casillas representan el 50 %.
- 100 casillas representan el 100 %.
En una cuadrícula de 100 casillas, 25 están coloreadas.
Esto significa:
$$ 25\% $$
También podemos escribirlo como:
$$ \frac{25}{100} $$
o como:
$$ 0,25 $$
Las tres expresiones representan exactamente la misma cantidad.
Porcentajes habituales
Algunos porcentajes aparecen con mucha frecuencia y conviene reconocerlos rápidamente.
| Porcentaje | Fracción | Significado |
|---|---|---|
| 10 % | $\frac{10}{100}$ | 10 de cada 100 |
| 25 % | $\frac{25}{100}$ | 25 de cada 100 |
| 50 % | $\frac{50}{100}$ | La mitad |
| 75 % | $\frac{75}{100}$ | Tres cuartas partes |
| 100 % | $\frac{100}{100}$ | El total |
Observa que:
$$ 50\%=\frac{50}{100}=\frac{1}{2} $$
Por eso el 50 % representa la mitad de una cantidad.
De forma similar:
$$ 25\%=\frac{25}{100}=\frac{1}{4} $$
y
$$ 75\%=\frac{75}{100}=\frac{3}{4} $$
Interpretación de porcentajes mayores y menores que 100 %
Aunque habitualmente trabajamos con porcentajes entre 0 % y 100 %, también pueden existir porcentajes mayores que 100 %.
Por ejemplo:
$$ 120\% $$
significa:
$$ \frac{120}{100}=1,2 $$
Es decir, una cantidad superior al total inicial.
También podemos encontrar porcentajes muy pequeños.
Por ejemplo:
$$ 5\% $$
significa:
$$ \frac{5}{100} $$
o lo que es lo mismo:
5 de cada 100.
Una clase tiene 20 alumnos y todos han entregado una tarea.
La entrega ha sido del:
$$ 100\% $$
Si solo la han entregado 10 alumnos:
$$ 50\% $$
Si la han entregado 15 alumnos:
$$ 75\% $$
Los porcentajes permiten comparar cantidades fácilmente y por eso se utilizan en multitud de situaciones cotidianas.
Cálculo de porcentajes
Calcular un porcentaje de una cantidad
Para calcular un porcentaje de una cantidad podemos utilizar una fracción con denominador 100.
Por ejemplo, queremos calcular el 25 % de 80.
Sabemos que:
$$ 25\%=\frac{25}{100} $$
Por tanto:
$$ 25\% \text{ de } 80 = \frac{25}{100}\times80 $$
Operando:
$$ \frac{25\times80}{100} = 20 $$
Por tanto:
$$ 25\% \text{ de } 80 = 20 $$
Calcula el 10 % de 250.
Sabemos que:
$$ 10\%=\frac{10}{100} $$
Entonces:
$$ \frac{10}{100}\times250 = 25 $$
Por tanto:
$$ 10\% \text{ de } 250 = 25 $$
Método rápido
Muchos porcentajes habituales pueden calcularse mentalmente.
El 10 %
Para calcular el 10 % de una cantidad basta con dividir entre 10.
Ejemplos:
$$ 10\% \text{ de } 300 = 30 $$
$$ 10\% \text{ de } 750 = 75 $$
El 50 %
El 50 % es la mitad.
$$ 50\%=\frac12 $$
Ejemplo:
$$ 50\% \text{ de } 80 = 40 $$
El 25 %
El 25 % es la cuarta parte.
$$ 25\%=\frac14 $$
Ejemplo:
$$ 25\% \text{ de } 120 = 30 $$
El 75 %
El 75 % equivale a tres cuartas partes.
$$ 75\%=\frac34 $$
Ejemplo:
$$ 75\% \text{ de } 80 = 60 $$
Qué porcentaje representa una cantidad
A veces conocemos una parte y el total, y queremos saber qué porcentaje representa.
La idea es construir una fracción:
$$ \frac{\text{parte}}{\text{total}} $$
y transformarla en porcentaje.
En una clase hay 20 alumnos y 5 llevan gafas.
La fracción correspondiente es:
$$ \frac{5}{20} = \frac14 $$
Sabemos que:
$$ \frac14 = 25\% $$
Por tanto, el 25 % de los alumnos lleva gafas.
En una encuesta participan 100 personas y 62 responden afirmativamente.
La fracción es:
$$ \frac{62}{100} $$
Por tanto:
$$ 62\% $$
de los participantes responde afirmativamente.
Calcular la cantidad total a partir de un porcentaje
También puede ocurrir que conozcamos un porcentaje y queramos averiguar el total.
El 25 % de una cantidad es 15.
Sabemos que:
$$ 25\%=\frac14 $$
Si una cuarta parte vale 15:
$$ 15\times4=60 $$
Por tanto, la cantidad total es:
$$ 60 $$
El 50 % de una cantidad es 35.
Como el 50 % representa la mitad:
$$ 35\times2=70 $$
La cantidad total es:
$$ 70 $$
Aumentos y descuentos porcentuales
Los porcentajes se utilizan con frecuencia para expresar aumentos y descuentos.
Una camiseta cuesta 40 € y tiene un descuento del 25 %.
Calculamos el descuento:
$$ 25\% \text{ de } 40 = 10 $$
Restamos el descuento:
$$ 40-10=30 $$
La camiseta cuesta finalmente:
$$ 30\text{ €} $$
Un artículo cuesta 80 € y aumenta un 10 %.
Calculamos el aumento:
$$ 10\% \text{ de } 80 = 8 $$
Sumamos el aumento:
$$ 80+8=88 $$
El nuevo precio es:
$$ 88\text{ €} $$
Los porcentajes permiten comparar cantidades y realizar cálculos muy útiles en situaciones cotidianas como compras, rebajas, estadísticas o encuestas.
Relación entre fracción, decimal y porcentaje
Una misma cantidad puede expresarse de distintas formas.
Por ejemplo:
$$ \frac{1}{2} $$
también puede escribirse como:
$$ 0,5 $$
y como:
$$ 50\% $$
Las tres expresiones representan exactamente la misma cantidad.
De fracción a porcentaje
Para transformar una fracción en porcentaje podemos obtener una fracción equivalente con denominador 100.
Transforma:
$$ \frac{3}{4} $$
Buscamos una fracción equivalente con denominador 100:
$$ \frac{3}{4} = \frac{75}{100} $$
Por tanto:
$$ \frac{3}{4}=75\% $$
Transforma:
$$ \frac{1}{5} $$
Sabemos que:
$$ \frac{1}{5} = \frac{20}{100} $$
Por tanto:
$$ \frac{1}{5}=20\% $$
De porcentaje a fracción
Todo porcentaje puede escribirse como una fracción con denominador 100.
Después, si es posible, simplificamos.
Transforma:
$$ 25\% $$
Escribimos:
$$ 25\%=\frac{25}{100} $$
Simplificamos:
$$ \frac{25}{100} = \frac14 $$
Por tanto:
$$ 25\%=\frac14 $$
Transforma:
$$ 60\% $$
Escribimos:
$$ 60\%=\frac{60}{100} $$
Simplificamos:
$$ \frac{60}{100} = \frac35 $$
Por tanto:
$$ 60\%=\frac35 $$
De decimal a porcentaje
Para transformar un número decimal en porcentaje multiplicamos por 100 y añadimos el símbolo %.
Transforma:
$$ 0,25 $$
Multiplicamos por 100:
$$ 0,25\times100=25 $$
Resultado:
$$ 0,25=25\% $$
Transforma:
$$ 0,8 $$
Multiplicamos por 100:
$$ 0,8\times100=80 $$
Resultado:
$$ 0,8=80\% $$
De porcentaje a decimal
Para transformar un porcentaje en decimal dividimos entre 100.
Transforma:
$$ 35\% $$
Dividimos entre 100:
$$ 35\div100=0,35 $$
Por tanto:
$$ 35\%=0,35 $$
Transforma:
$$ 125\% $$
Dividimos entre 100:
$$ 125\div100=1,25 $$
Por tanto:
$$ 125\%=1,25 $$
Tabla de equivalencias frecuentes
| Fracción | Decimal | Porcentaje |
|---|---|---|
| $\frac{1}{10}$ | 0,1 | 10 % |
| $\frac{1}{5}$ | 0,2 | 20 % |
| $\frac{1}{4}$ | 0,25 | 25 % |
| $\frac{1}{2}$ | 0,5 | 50 % |
| $\frac{3}{4}$ | 0,75 | 75 % |
| $\frac{4}{5}$ | 0,8 | 80 % |
| $1$ | 1 | 100 % |
Comprender estas equivalencias permite pasar fácilmente de una representación a otra y facilita muchos cálculos con porcentajes.
Escalas sencillas
¿Qué es una escala?
Una escala es una relación que existe entre las dimensiones de una representación y las dimensiones reales.
Las escalas se utilizan para representar objetos muy grandes o muy pequeños de forma cómoda.
Por ejemplo:
- Mapas.
- Planos de edificios.
- Maquetas.
- Dibujos técnicos.
Una escala suele escribirse en forma de razón.
Por ejemplo:
$$ 1:100 $$
Esto significa que:
- 1 unidad en el dibujo representa 100 unidades en la realidad.
Interpretación de una escala
Observa la escala:
$$ 1:100 $$
Si medimos 1 cm en el plano, en la realidad representa:
$$ 100\text{ cm} $$
Si medimos 2 cm en el plano:
$$ 200\text{ cm} $$
Si medimos 5 cm en el plano:
$$ 500\text{ cm} $$
Por tanto, todas las medidas reales son 100 veces mayores que las representadas.
Escalas de ampliación y reducción
Existen dos tipos principales de escalas.
Escalas de reducción
Se utilizan cuando el objeto real es muy grande.
Por ejemplo:
- Mapas.
- Planos de ciudades.
- Planos de viviendas.
Ejemplo:
$$ 1:1000 $$
Cada centímetro del dibujo representa 1000 centímetros reales.
Escalas de ampliación
Se utilizan cuando el objeto real es muy pequeño.
Por ejemplo:
- Insectos.
- Células.
- Componentes electrónicos.
Ejemplo:
$$ 10:1 $$
Cada 10 unidades del dibujo representan 1 unidad real.
Cálculo de distancias reales
Para obtener la distancia real multiplicamos la distancia representada por el segundo número de la escala.
Un segmento mide 4 cm en un plano realizado a escala:
$$ 1:100 $$
Calculamos:
$$ 4\times100=400 $$
La distancia real es:
$$ 400\text{ cm} $$
o lo que es lo mismo:
$$ 4\text{ m} $$
En un mapa a escala:
$$ 1:50\,000 $$
la distancia entre dos ciudades es de 3 cm.
Calculamos:
$$ 3\times50\,000=150\,000 \text{ cm} $$
Convertimos a metros:
$$ 150\,000\div100=1\,500 \text{ m} $$
Convertimos a kilómetros:
$$ 1\,500\div1000=1,5 \text{ km} $$
La distancia real es:
$$ 1,5\text{ km} $$
Cálculo de distancias representadas
También podemos conocer la medida que debe aparecer en un plano.
Para ello dividimos la distancia real entre el factor de escala.
Queremos representar una distancia real de 800 cm en una escala:
$$ 1:100 $$
Calculamos:
$$ 800\div100=8 $$
La distancia representada será:
$$ 8\text{ cm} $$
Utilidad de las escalas
Las escalas permiten representar de forma práctica objetos y distancias que serían imposibles de dibujar con su tamaño real.
Gracias a ellas podemos:
- Interpretar mapas.
- Leer planos.
- Construir maquetas.
- Diseñar edificios.
- Representar objetos muy pequeños o muy grandes.
Las escalas son una aplicación directa de las razones, las proporciones y la regla de tres.