Patrones y funciones

Series numéricas

¿Qué es una serie numérica?

Una serie numérica es una sucesión ordenada de números que sigue una regla determinada.

Cada número de la serie se obtiene aplicando esa regla al número anterior.

Por ejemplo:

2, 4, 6, 8, 10, ...

Observamos que cada número aumenta 2 unidades respecto al anterior.

La regla es:

+2

Series crecientes

Una serie es creciente cuando los números van aumentando.

Ejemplos:

• 5, 10, 15, 20, 25, ...
• 100, 200, 300, 400, ...
• 3, 6, 9, 12, 15, ...

Ejemplo resuelto:

Completa la serie:

8, 12, 16, 20, ___, ___

Observamos que:

• 12 − 8 = 4
• 16 − 12 = 4
• 20 − 16 = 4

La regla es:

+4

Continuamos:

• 20 + 4 = 24
• 24 + 4 = 28

Resultado:

8, 12, 16, 20, 24, 28

Series decrecientes

Una serie es decreciente cuando los números van disminuyendo.

Ejemplos:

• 50, 45, 40, 35, 30, ...
• 100, 90, 80, 70, ...
• 36, 30, 24, 18, ...

Ejemplo resuelto:

Completa la serie:

60, 55, 50, 45, ___, ___

Observamos que cada número disminuye 5 unidades.

La regla es:

−5

Continuamos:

• 45 − 5 = 40
• 40 − 5 = 35

Resultado:

60, 55, 50, 45, 40, 35

Series multiplicativas

No todas las series se forman sumando o restando.

A veces cada número se obtiene multiplicando por una misma cantidad.

Ejemplos:

• 2, 4, 8, 16, 32, ...
• 3, 6, 12, 24, 48, ...
• 5, 10, 20, 40, 80, ...

Ejemplo resuelto:

Completa la serie:

3, 6, 12, 24, ___, ___

Observamos que:

• 6 = 3 × 2
• 12 = 6 × 2
• 24 = 12 × 2

La regla es:

×2

Continuamos:

• 24 × 2 = 48
• 48 × 2 = 96

Resultado:

3, 6, 12, 24, 48, 96

Series con patrones alternos

Algunas series combinan varias reglas.

Ejemplo:

2, 5, 2, 5, 2, 5, ...

La serie alterna dos números.

Otro ejemplo:

1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 6, ...

Observamos dos series mezcladas:

• 1, 2, 3, 4, ...
• 3, 4, 5, 6, ...

Ejemplo resuelto:

Completa la serie:

10, 20, 10, 20, 10, ___, ___

Observamos que se repite el patrón:

10, 20

Resultado:

10, 20, 10, 20, 10, 20, 10

Cómo descubrir la regla de una serie

Para encontrar la regla de una serie conviene seguir estos pasos:

1. Observa si los números aumentan o disminuyen.
2. Calcula la diferencia entre números consecutivos.
3. Comprueba si siempre se suma o se resta la misma cantidad.
4. Si no ocurre así, comprueba si se multiplica o divide.
5. Busca posibles patrones que se repitan.

Ejemplo resuelto:

Completa la serie:

7, 14, 21, 28, ___

Calculamos las diferencias:

• 14 − 7 = 7
• 21 − 14 = 7
• 28 − 21 = 7

La regla es:

+7

Continuamos:

28 + 7 = 35

Resultado:

7, 14, 21, 28, 35

Patrones y regularidades

¿Qué es un patrón?

Un patrón es una regla que se repite siguiendo un orden determinado.

Los patrones aparecen en Matemáticas, en la naturaleza, en la música y en muchas situaciones de la vida cotidiana.

Por ejemplo:

2, 4, 6, 8, 10, ...

La regla es sumar 2.

También podemos encontrar patrones que no son numéricos:

🔺 🔴 🔺 🔴 🔺 🔴 ...

La regla consiste en alternar un triángulo y un círculo.

Identificación de patrones

Para descubrir un patrón debemos observar qué cambia y qué permanece igual.

Ejemplo resuelto:

Observa la serie:

5, 10, 15, 20, 25, ...

Calculamos las diferencias:

• 10 − 5 = 5
• 15 − 10 = 5
• 20 − 15 = 5

La regla es:

+5

Por tanto, los siguientes términos serán:

30, 35, 40, ...

Patrones aditivos

En los patrones aditivos cada término se obtiene sumando siempre la misma cantidad.

Ejemplos:

Ejemplo resuelto:

Completa la serie:

14, 21, 28, 35, ___

Observamos que:

• 21 − 14 = 7
• 28 − 21 = 7
• 35 − 28 = 7

La regla es:

$+7$

Resultado:

14, 21, 28, 35, 42

Patrones sustractivos

En los patrones sustractivos cada término se obtiene restando siempre la misma cantidad.

Ejemplos:

Ejemplo resuelto:

Completa la serie:

80, 72, 64, 56, ___

Observamos que cada término disminuye 8 unidades.

Resultado:

80, 72, 64, 56, 48

Patrones multiplicativos

En los patrones multiplicativos cada término se obtiene multiplicando por una misma cantidad.

Ejemplos:

Ejemplo resuelto:

Completa la serie:

4, 12, 36, 108, ___

Observamos que:

• 12 = 4 × 3
• 36 = 12 × 3
• 108 = 36 × 3

La regla es:

$\times 3$

Resultado:

4, 12, 36, 108, 324

Patrones formados por figuras

Los patrones no siempre utilizan números.

Ejemplo:

□ ○ □ ○ □ ○ ...

La regla consiste en alternar un cuadrado y un círculo.

Otro ejemplo:

▲ ▲ ● ▲ ▲ ● ▲ ▲ ● ...

La regla consiste en repetir el grupo:

▲ ▲ ●

Patrones geométricos

También pueden formarse patrones añadiendo elementos de manera regular.

Ejemplo:

• Figura 1: 1 cuadrado
• Figura 2: 2 cuadrados
• Figura 3: 3 cuadrados
• Figura 4: 4 cuadrados

Observamos que cada figura añade un cuadrado más que la anterior.

Este tipo de patrones será muy importante para comprender las funciones en los siguientes apartados.

Predicción de términos

Una vez conocida la regla de un patrón, podemos predecir términos que todavía no aparecen.

Ejemplo resuelto:

Serie:

7, 11, 15, 19, 23, ...

Regla:

+4

¿Cuál será el décimo término?

Continuamos:

• 6.º término: 27
• 7.º término: 31
• 8.º término: 35
• 9.º término: 39
• 10.º término: 43

Resultado:

El décimo término es 43.

Utilidad de los patrones

Reconocer patrones nos ayuda a:

• Descubrir reglas matemáticas.
• Resolver problemas.
• Hacer predicciones.
• Comprender tablas y gráficas.
• Introducirnos en el estudio de las funciones.

Relaciones entre cantidades

¿Qué es una relación entre cantidades?

En muchas situaciones dos cantidades están relacionadas.

Cuando una de ellas cambia, la otra también puede cambiar.

Por ejemplo:

• Cuantos más cuadernos compramos, más dinero pagamos.
• Cuantas más horas estudiamos, más tiempo dedicamos al trabajo.
• Cuantos más kilómetros recorremos, mayor es la distancia recorrida.

En todos estos casos existe una relación entre dos cantidades.

Observación de relaciones

Veamos un ejemplo.

Cada cuaderno cuesta 2 €.

Observamos que:

• Si aumenta el número de cuadernos, aumenta el precio.
• Cada cuaderno añade 2 € al coste total.

Las dos cantidades están relacionadas.

Cantidad independiente y cantidad dependiente

En muchas relaciones una cantidad determina el valor de otra.

En el ejemplo anterior:

• Elegimos cuántos cuadernos comprar.
• El precio depende de esa elección.

Por ello decimos que:

• El número de cuadernos es la cantidad independiente.
• El precio es la cantidad dependiente.

Ejemplo:

Si compramos 7 cuadernos:

Precio = 14 €

El precio cambia porque ha cambiado el número de cuadernos.

Relaciones de suma

No todas las relaciones se forman multiplicando.

A veces se obtiene una cantidad sumando siempre una misma cantidad.

Ejemplo:

La entrada a un museo cuesta 5 € y el alquiler de una audioguía cuesta 3 €.

Observamos que cada nuevo visitante aumenta el coste en 3 €.

Relaciones de multiplicación

Muchas relaciones se forman multiplicando una cantidad por otra.

Ejemplo:

Cada caja contiene 6 botellas.

Observamos que:

Botellas = 6 × cajas

Ejemplo resuelto:

¿Cuántas botellas habrá en 8 cajas?

Aplicamos la regla:

Botellas = 6 × 8

Botellas = 48

Resultado:

48 botellas

Relaciones proporcionales

Dos cantidades son proporcionales cuando al multiplicar una cantidad por un número, la otra también se multiplica por ese mismo número.

Ejemplo:

Cada entrada cuesta 4 €.

Observamos que:

• El doble de entradas cuesta el doble.
• El triple de entradas cuesta el triple.

Por ello existe una relación proporcional.

Descubrir la regla de una relación

Para estudiar una relación conviene buscar la regla que conecta ambas cantidades.

Ejemplo resuelto:

Observamos que:

• 1 × 5 = 5
• 2 × 5 = 10
• 3 × 5 = 15
• 4 × 5 = 20

La regla es:

Resultado = número × 5

Utilización de una regla

Una vez descubierta la regla podemos calcular nuevos valores.

Ejemplo resuelto:

Regla:

Resultado = número × 4

Calcula el resultado cuando el número vale 9.

Aplicamos la regla:

9 × 4 = 36

Resultado:

36

Predicción de valores

Las relaciones entre cantidades nos permiten predecir resultados sin tener que construir toda una tabla.

Ejemplo resuelto:

Cada bolsa contiene 8 caramelos.

¿Cuántos caramelos habrá en 15 bolsas?

Regla:

Caramelos = 8 × bolsas

Calculamos:

8 × 15 = 120

Resultado:

120 caramelos

Importancia de las relaciones entre cantidades

Las relaciones entre cantidades aparecen continuamente en la vida diaria:

• Precio y cantidad comprada.
• Distancia y tiempo recorrido.
• Número de personas y coste de una actividad.
• Edad y año de nacimiento.
• Temperatura y hora del día.

Estudiar estas relaciones nos ayuda a comprender cómo cambia una cantidad cuando cambia otra.

En los siguientes apartados aprenderemos a organizar estas relaciones mediante tablas y gráficas.

Tablas de valores

¿Qué es una tabla de valores?

Una tabla de valores es una forma organizada de mostrar la relación entre dos cantidades.

Las tablas permiten:

• Ordenar información.
• Detectar patrones.
• Descubrir reglas.
• Realizar cálculos con facilidad.

Ejemplo:

Cada lápiz cuesta 2 €.

La tabla muestra cómo cambia el precio al variar la cantidad de lápices.

Construcción de una tabla de valores

Para construir una tabla debemos:

1. Identificar las dos cantidades relacionadas.
2. Colocar cada cantidad en una columna.
3. Completar los valores siguiendo la regla establecida.

Ejemplo:

Cada entrada cuesta 5 €.

La regla es:

Precio = entradas × 5

Construimos la tabla:

Completar una tabla

A veces conocemos la regla pero faltan algunos valores.

Ejemplo resuelto:

Regla:

Resultado = número × 3

Completa la tabla.

Calculamos:

• 4 × 3 = 12
• 5 × 3 = 15

Tabla completa:

Descubrir la regla a partir de una tabla

También podemos realizar el proceso contrario.

Observamos una tabla y tratamos de descubrir la regla que la genera.

Ejemplo resuelto:

Observamos que:

• 1 × 4 = 4
• 2 × 4 = 8
• 3 × 4 = 12

La regla es:

Resultado = número × 4

Utilización de una tabla para calcular valores

Una tabla permite obtener rápidamente información.

Ejemplo:

Cada paquete contiene 12 cromos.

Pregunta:

¿Cuántos cromos habrá en 4 paquetes?

Buscamos en la tabla:

4 paquetes → 48 cromos

Resultado:

48 cromos

Ampliación de una tabla

Una vez conocida la regla podemos añadir nuevas filas.

Ejemplo resuelto:

Observamos que:

Distancia = horas × 60

Añadimos dos filas más:

Tablas con relaciones aditivas

No todas las tablas utilizan multiplicaciones.

Ejemplo:

Resultado = número + 5

Observamos que cada resultado se obtiene sumando 5.

Comparación de tablas

Dos tablas pueden representar relaciones diferentes.

Tabla A:

Regla:

Resultado = número × 2

Tabla B:

Regla:

Resultado = número × 3

Aunque ambas tablas muestran una relación proporcional, la regla no es la misma.

Interpretación de tablas

Cuando observamos una tabla debemos preguntarnos:

• ¿Qué representan las columnas?
• ¿Cómo cambia una cantidad cuando cambia la otra?
• ¿Existe una regla?
• ¿Podemos predecir nuevos valores?

Responder a estas preguntas nos ayuda a comprender mejor la relación entre las cantidades.

Las tablas de valores son una herramienta fundamental porque permiten organizar información y preparan el camino para representar esas relaciones mediante gráficas.

Introducción al concepto de función

Una máquina de números

Imagina una máquina que transforma números.

Si introducimos un número, la máquina siempre realiza la misma operación.

Por ejemplo:

x = 1 → 3

x = 2 → 6

x = 3 → 9

x = 4 → 12

Observamos que la máquina multiplica por 3.

Podemos escribir la regla:

y = 3x

o también:

f(x) = 3x

Significado de x e y

• x representa el valor de entrada.
• y representa el valor de salida.

Ejemplo:

y = 2x + 1

Si x = 4:

y = 2·4 + 1 y = 9

Por tanto:

f(4) = 9

Cálculo de imágenes

La expresión f(4) se lee:

"La imagen de 4"

o

"f de 4"

Ejemplo:

f(x) = 5x

f(3) = 5·3 = 15

f(10) = 5·10 = 50

Tabla de valores de una función

Función:

f(x) = 2x

Observamos que cada valor de x tiene asociado un único valor de f(x).

Funciones con suma

No todas las funciones son multiplicaciones.

Ejemplo:

f(x) = x + 4

Funciones con varias operaciones

Ejemplo:

f(x) = 2x + 3

Calculamos:

f(1) = 2·1 + 3 = 5

f(2) = 2·2 + 3 = 7

f(3) = 2·3 + 3 = 9

Tabla:

¿Qué es una función?

Una función es una regla que asigna a cada valor de x un único valor de f(x).

Las funciones nos permiten describir relaciones entre cantidades y predecir resultados.

Representación gráfica de funciones sencillas

De la tabla a la gráfica

Las funciones pueden representarse mediante tablas, pero también mediante gráficas.

Para ello utilizamos unos ejes coordenados.

• El eje horizontal se llama eje X.
• El eje vertical se llama eje Y.

Cada fila de una tabla proporciona un punto de la gráfica.

Por ejemplo, consideremos la función:

$$ f(x)=2x $$

Construimos una tabla de valores:

Cada fila genera un punto:

• (0,0)
• (1,2)
• (2,4)
• (3,6)
• (4,8)

Representamos estos puntos sobre los ejes.

Lectura de puntos en una gráfica

Cada punto de una gráfica indica un valor de entrada y su correspondiente valor de salida.

Por ejemplo, en la gráfica anterior:

• El punto (1,2) indica que f(1)=2.
• El punto (3,6) indica que f(3)=6.
• El punto (4,8) indica que f(4)=8.

Podemos leer información directamente de la gráfica sin necesidad de utilizar la tabla.

Construcción de una gráfica paso a paso

Para representar una función sencilla:

1. Escribe la función.
2. Calcula varios valores de f(x).
3. Construye una tabla.
4. Representa los puntos obtenidos.
5. Comprueba que todos los puntos siguen la misma regla.

Ejemplo:

$$ f(x)=x+3 $$

Tabla:

Puntos:

• (0,3)
• (1,4)
• (2,5)
• (3,6)
• (4,7)

Comparación de funciones

Dos funciones diferentes producen gráficas diferentes.

Ejemplo:

$$ f(x)=x $$

y

$$ f(x)=2x $$

Observamos que:

• En la primera función los valores aumentan de uno en uno.
• En la segunda aumentan de dos en dos.

Por tanto sus gráficas tendrán inclinaciones distintas.

Utilidad de las gráficas

Las gráficas permiten:

• Visualizar relaciones entre cantidades.
• Comparar funciones.
• Detectar tendencias.
• Predecir resultados.

Por ello son una herramienta muy utilizada en Matemáticas, Ciencias y Tecnología.

Algunas funciones importantes

La función constante

$$ f(x)=3 $$

La función constante no crece ni decrece.

La función lineal

$$ f(x)=2x $$

La función lineal creciente crece siempre al mismo ritmo.

La función decreciente

$$ f(x)=10-x $$

La función decreciente disminuye al avanzar hacia la derecha.

La función cuadrática

$$ f(x)=x^2 $$

La función cuadrática crece cada vez más rápido.

Interpretación de gráficas

Leer información en una gráfica

Una gráfica nos permite representar visualmente la relación entre dos cantidades.

Al observar una gráfica podemos responder preguntas sin necesidad de realizar cálculos.

Por ejemplo, si una gráfica representa la distancia recorrida por una persona, podemos averiguar:

• Cuánta distancia ha recorrido.
• Cómo cambia la distancia con el tiempo.
• Si avanza más rápido o más despacio.

Interpretación de puntos

Cada punto de una gráfica representa una información concreta.

Por ejemplo, el punto:

$$ (3,6) $$

significa que:

$$ f(3)=6 $$

Es decir:

• Cuando (x=3),
• el valor correspondiente es (6).

Gráficas crecientes

Una gráfica es creciente cuando los valores aumentan al avanzar hacia la derecha.

Ejemplo:

Observamos que:

• Al aumentar (x),
• también aumenta (f(x)).

Decimos que la función es creciente.

Gráficas decrecientes

Una gráfica es decreciente cuando los valores disminuyen al avanzar hacia la derecha.

Ejemplo:

Observamos que:

• Al aumentar (x),
• disminuye (f(x)).

Decimos que la función es decreciente.

Comparación de gráficas

Dos gráficas pueden crecer de forma diferente.

Ejemplo:

Función A:

$$ f(x)=x $$

Función B:

$$ f(x)=3x $$

Tabla de valores:

Observamos que:

• Ambas funciones son crecientes.
• La función B aumenta más deprisa.

Interpretación en situaciones reales

Las gráficas aparecen en muchos ámbitos de la vida diaria.

Por ejemplo:

• Evolución de la temperatura durante el día.
• Crecimiento de una planta.
• Distancia recorrida en un viaje.
• Consumo de agua o electricidad.
• Población de una ciudad.

Las gráficas permiten comprender rápidamente grandes cantidades de información.

Ejemplo resuelto

Observa la tabla:

Preguntas:

¿Cuántos ejercicios se resuelven en 3 horas?

Buscamos en la tabla:

$$ 3 \rightarrow 15 $$

Respuesta:

15 ejercicios.

¿Cuántos ejercicios se resuelven en 5 horas?

Buscamos:

$$ 5 \rightarrow 25 $$

Respuesta:

25 ejercicios.

Utilidad de las funciones y las gráficas

Las funciones, las tablas y las gráficas permiten:

• Organizar información.
• Descubrir patrones.
• Predecir resultados.
• Comparar situaciones.
• Resolver problemas.

Por ello se utilizan en Matemáticas, Ciencias, Economía, Informática y muchas otras disciplinas.