Operaciones con números naturales

La suma

Concepto de suma

La suma es una operación matemática que permite reunir varias cantidades en una sola.

Los números que se suman reciben el nombre de sumandos y el resultado recibe el nombre de suma o total.

Por ejemplo:

$$ 245 + 123 = 368 $$

En esta operación:

• 245 es un sumando.
• 123 es un sumando.
• 368 es la suma.

La suma es una de las operaciones matemáticas más utilizadas en la vida cotidiana.

Algunos ejemplos son:

• Calcular el número total de alumnos de varias clases.
• Conocer el dinero que tenemos después de reunir varias cantidades.
• Contar los puntos obtenidos en un juego.
• Calcular el número total de páginas leídas durante varios días.

Ejemplo:

Si una biblioteca compra 245 libros en septiembre y 123 libros en octubre, el número total de libros comprados será:

$$ 245 + 123 = 368 $$

Por tanto, la biblioteca habrá comprado 368 libros.

Sumas en horizontal y en vertical

Las sumas pueden escribirse de distintas formas.

La forma más sencilla es la escritura horizontal:

$$ 245 + 123 = 368 $$

Sin embargo, cuando trabajamos con números grandes resulta más cómodo escribir las sumas en vertical.

Al escribir una suma en vertical debemos colocar las cifras de manera que coincidan los mismos órdenes de unidades.

Por ejemplo:

De esta forma:

• Las unidades se suman con las unidades.
• Las decenas se suman con las decenas.
• Las centenas se suman con las centenas.

Sumas sin llevadas

Cuando la suma de las cifras de una columna es menor que diez, no es necesario realizar llevadas.

Ejemplo:

Observa cómo se realiza el cálculo:

• Unidades: $4 + 5 = 9$
• Decenas: $2 + 4 = 6$
• Centenas: $3 + 1 = 4$

Resultado:

$$ 324 + 145 = 469 $$

Sumas con llevadas

En muchas ocasiones la suma de una columna es igual o superior a diez.

Cuando esto ocurre debemos realizar una llevada.

Ejemplo:

Veamos el proceso paso a paso.

Paso 1. Sumar las unidades

$$ 7 + 6 = 13 $$

Escribimos 3 en la columna de las unidades y llevamos 1 decena a la columna siguiente.

Paso 2. Sumar las decenas

$$ 8 + 5 + 1 = 14 $$

Escribimos 4 en la columna de las decenas y llevamos 1 centena.

Paso 3. Sumar las centenas

$$ 4 + 3 + 1 = 8 $$

Resultado:

$$ 487 + 356 = 843 $$

Suma de varios sumandos

La suma puede tener más de dos sumandos.

Ejemplo:

Realizamos el cálculo exactamente igual que en una suma de dos sumandos.

Comenzamos por la columna de las unidades y avanzamos hacia la izquierda.

Propiedades de la suma

La suma posee varias propiedades importantes.

Propiedad conmutativa

El orden de los sumandos no altera el resultado.

Ejemplo:

$$ 25 + 13 = 13 + 25 $$

Ambas operaciones tienen como resultado:

$$ 38 $$

Propiedad asociativa

Cuando sumamos tres o más números, la forma de agruparlos no modifica el resultado.

Ejemplo:

$$ (12 + 8) + 5 = 12 + (8 + 5) $$

En ambos casos obtenemos:

$$ 25 $$

Elemento neutro

El cero es el elemento neutro de la suma.

Esto significa que sumar cero no modifica el valor de un número.

Ejemplos:

$$ 45 + 0 = 45 $$

$$ 0 + 45 = 45 $$

Relación entre la suma y la resta

La suma y la resta son operaciones inversas.

Por ejemplo:

$$ 125 + 87 = 212 $$

Si conocemos el resultado de la suma, podemos recuperar cualquiera de los sumandos mediante una resta:

$$ 212 - 87 = 125 $$

y también:

$$ 212 - 125 = 87 $$

Esta relación resulta muy útil para comprobar cálculos y resolver problemas.

Comprobación de una suma

Una forma sencilla de comprobar una suma consiste en realizar la operación inversa.

Por ejemplo:

$$ 245 + 123 = 368 $$

Para comprobar el resultado:

$$ 368 - 123 = 245 $$

Como recuperamos el primer sumando, sabemos que la suma es correcta.

La resta

Concepto de resta

La resta es una operación matemática que permite calcular la diferencia entre dos cantidades.

También puede interpretarse como una forma de quitar una cantidad de otra o de averiguar cuánto falta para llegar de una cantidad a otra.

Por ejemplo:

$$ 548 - 279 = 269 $$

En esta operación:

• 548 es el minuendo.
• 279 es el sustraendo.
• 269 es la diferencia.

La resta aparece con frecuencia en situaciones cotidianas.

Algunos ejemplos son:

• Calcular cuánto dinero queda después de una compra.
• Averiguar cuántos alumnos faltan en clase.
• Conocer la diferencia de edad entre dos personas.
• Comparar dos cantidades.

Ejemplo:

En una biblioteca hay 548 libros de aventuras. Si 279 están prestados, quedan:

$$ 548 - 279 = 269 $$

Por tanto, permanecen disponibles 269 libros.

Restas en horizontal y en vertical

Las restas pueden escribirse de distintas formas.

Forma horizontal:

$$ 548 - 279 = 269 $$

Forma vertical:

Al escribir una resta en vertical debemos hacer coincidir los órdenes de unidades.

Por ejemplo:

De esta forma:

• Las unidades se restan con las unidades.
• Las decenas se restan con las decenas.
• Las centenas se restan con las centenas.

Restas sin llevadas

Cuando cada cifra del minuendo es mayor o igual que la cifra correspondiente del sustraendo, la resta puede realizarse directamente.

Ejemplo:

Observa cómo se realiza el cálculo:

• Unidades: $4 - 1 = 3$
• Decenas: $5 - 2 = 3$
• Centenas: $6 - 3 = 3$

Resultado:

$$ 654 - 321 = 333 $$

Restas con llevadas

En muchas ocasiones una cifra del minuendo es menor que la correspondiente del sustraendo.

Cuando esto ocurre debemos tomar una unidad del orden inmediatamente superior.

Ejemplo:

Veamos el proceso paso a paso.

Paso 1. Restar las unidades

No podemos calcular:

$$ 2 - 8 $$

Tomamos una decena de la columna siguiente.

Ahora tenemos:

$$ 12 - 8 = 4 $$

Paso 2. Restar las decenas

Después de prestar una decena, quedan 9 decenas.

Calculamos:

$$ 9 - 5 = 4 $$

Paso 3. Restar las centenas

Calculamos:

$$ 6 - 4 = 2 $$

Resultado:

$$ 702 - 458 = 244 $$

Relación entre suma y resta

La suma y la resta son operaciones inversas.

Por ejemplo:

$$ 125 + 87 = 212 $$

Si conocemos el resultado de la suma, podemos recuperar cualquiera de los sumandos mediante una resta:

$$ 212 - 87 = 125 $$

y también:

$$ 212 - 125 = 87 $$

Comprobación de una resta

La forma más sencilla de comprobar una resta consiste en realizar una suma.

Por ejemplo:

$$ 548 - 279 = 269 $$

Para comprobarla sumamos:

$$ 269 + 279 = 548 $$

Como obtenemos el minuendo, sabemos que la resta es correcta.

La diferencia entre dos números

La resta también nos permite calcular cuánto se diferencian dos cantidades.

Por ejemplo:

Si una montaña tiene una altura de 1 245 metros y otra tiene una altura de 978 metros, la diferencia de altura es:

$$ 1\,245 - 978 = 267 $$

Por tanto, la primera montaña es 267 metros más alta que la segunda.

El cero en la resta

Restar cero no modifica un número.

Ejemplo:

$$ 45 - 0 = 45 $$

Sin embargo:

$$ 0 - 45 $$

no es un número natural.

Por esta razón, cuando trabajamos únicamente con números naturales, el minuendo debe ser mayor o igual que el sustraendo.

Restar un número a sí mismo

Cuando restamos un número de sí mismo, el resultado es cero.

Ejemplos:

$$ 15 - 15 = 0 $$

$$ 1\,250 - 1\,250 = 0 $$

Esto ocurre porque no existe ninguna diferencia entre dos cantidades iguales.

La multiplicación

Concepto de multiplicación

La multiplicación es una operación matemática que permite realizar de forma abreviada una suma repetida.

Por ejemplo:

$$ 4 \times 3 = 12 $$

equivale a:

$$ 3 + 3 + 3 + 3 = 12 $$

En esta operación:

• 4 es el multiplicador o factor.
• 3 es el multiplicando o factor.
• 12 es el producto.

La multiplicación resulta especialmente útil cuando debemos sumar muchas veces una misma cantidad.

Algunos ejemplos son:

• Calcular el número de ruedas de varios coches.
• Averiguar cuántos lápices hay en varias cajas iguales.
• Calcular el precio de varios objetos iguales.
• Contar filas y columnas de elementos.

Ejemplo:

Si una caja contiene 24 lápices y tenemos 5 cajas iguales:

$$ 24 \times 5 = 120 $$

Por tanto, tenemos 120 lápices.

Multiplicaciones en horizontal y en vertical

Las multiplicaciones pueden escribirse de distintas formas.

Forma horizontal:

$$ 24 \times 5 = 120 $$

Forma vertical:

Al escribir una multiplicación en vertical debemos colocar correctamente las cifras para facilitar el cálculo.

Multiplicación por una cifra

Cuando el multiplicador tiene una sola cifra, multiplicamos cada cifra del multiplicando por esa cantidad.

Ejemplo:

Proceso:

• $3 \times 4 = 12$
• Escribimos 2 y llevamos 1.
• $3 \times 2 = 6$
• Sumamos la llevada: $6 + 1 = 7$

Resultado:

$$ 24 \times 3 = 72 $$

Multiplicaciones sin llevadas

Cuando ningún producto parcial supera 9, no es necesario realizar llevadas.

Ejemplo:

Observa:

• $2 \times 3 = 6$
• $2 \times 2 = 4$

Resultado:

$$ 23 \times 2 = 46 $$

Multiplicaciones con llevadas

Cuando alguno de los productos parciales es igual o superior a 10, debemos realizar llevadas.

Ejemplo:

Proceso:

Paso 1. Multiplicar las unidades

$$ 7 \times 8 = 56 $$

Escribimos 6 y llevamos 5.

Paso 2. Multiplicar las decenas

$$ 7 \times 4 = 28 $$

Añadimos la llevada:

$$ 28 + 5 = 33 $$

Resultado:

$$ 48 \times 7 = 336 $$

Multiplicación por varias cifras

Cuando el multiplicador tiene varias cifras, realizamos una multiplicación parcial por cada una de ellas.

Ejemplo:

Observa que:

• Primero multiplicamos por 3.
• Después multiplicamos por 1 decena.
• Finalmente sumamos los resultados parciales.

Resultado:

$$ 24 \times 13 = 312 $$

Multiplicación por 10

Multiplicar por 10 equivale a desplazar todas las cifras una posición hacia la izquierda.

Ejemplos:

$$ 25 \times 10 = 250 $$

$$ 348 \times 10 = 3\,480 $$

Multiplicación por 100

Multiplicar por 100 equivale a desplazar todas las cifras dos posiciones hacia la izquierda.

Ejemplos:

$$ 25 \times 100 = 2\,500 $$

$$ 348 \times 100 = 34\,800 $$

Multiplicación por 1 000

Multiplicar por 1 000 equivale a desplazar todas las cifras tres posiciones hacia la izquierda.

Ejemplos:

$$ 25 \times 1\,000 = 25\,000 $$

$$ 348 \times 1\,000 = 348\,000 $$

Multiplicación por números terminados en ceros

Cuando multiplicamos por un número terminado en ceros, podemos hacerlo en dos pasos:

1. Multiplicamos primero por el número sin los ceros finales.
2. Añadimos después los ceros que habíamos quitado.

Ejemplo:

$$ 35 \times 20 $$

Podemos pensar:

$$ 20 = 2 \times 10 $$

Primero calculamos:

$$ 35 \times 2 = 70 $$

Después añadimos un cero:

$$ 35 \times 20 = 700 $$

Otro ejemplo:

$$ 48 \times 300 $$

Podemos pensar:

$$ 300 = 3 \times 100 $$

Primero calculamos:

$$ 48 \times 3 = 144 $$

Después añadimos dos ceros:

$$ 48 \times 300 = 14\,400 $$

Ejemplo con ceros en los dos factores:

$$ 120 \times 40 $$

Quitamos los ceros finales y calculamos:

$$ 12 \times 4 = 48 $$

En total habíamos quitado dos ceros, uno de cada factor.

Por tanto:

$$ 120 \times 40 = 4\,800 $$

Propiedades de la multiplicación

La multiplicación posee varias propiedades importantes.

Propiedad conmutativa

El orden de los factores no altera el resultado.

Ejemplo:

$$ 8 \times 5 = 5 \times 8 $$

En ambos casos obtenemos:

$$ 40 $$

Propiedad asociativa

La forma de agrupar los factores no modifica el resultado.

Ejemplo:

$$ (2 \times 3) \times 4 = 2 \times (3 \times 4) $$

En ambos casos obtenemos:

$$ 24 $$

Elemento neutro

El uno es el elemento neutro de la multiplicación.

Ejemplos:

$$ 35 \times 1 = 35 $$

$$ 1 \times 35 = 35 $$

Propiedad distributiva

La multiplicación distribuye respecto de la suma.

Ejemplo:

$$ 4 \times (5 + 2) = (4 \times 5) + (4 \times 2) $$

$$ 4 \times 7 = 20 + 8 $$

$$ 28 = 28 $$

Relación entre la multiplicación y la suma

La multiplicación puede interpretarse como una suma repetida.

Ejemplo:

$$ 6 \times 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24 $$

Gracias a esta propiedad, la multiplicación permite realizar cálculos de forma mucho más rápida que mediante sumas repetidas.

El cero en la multiplicación

Cualquier número multiplicado por cero da como resultado cero.

Ejemplos:

$$ 25 \times 0 = 0 $$

$$ 0 \times 25 = 0 $$

$$ 1\,250 \times 0 = 0 $$

Multiplicar por uno (Elemento neutro)

Multiplicar por uno no modifica el valor de un número.

Ejemplos:

$$ 57 \times 1 = 57 $$

$$ 1 \times 57 = 57 $$

La división

Concepto de división

La división es una operación matemática que permite repartir una cantidad en partes iguales.

También sirve para averiguar cuántas veces una cantidad cabe dentro de otra.

Por ejemplo:

$$ 312 : 13 = 24 $$

En esta operación:

• 312 es el dividendo.
• 13 es el divisor.
• 24 es el cociente.
• 0 es el resto.

Podemos representar la división con el algoritmo escrito:

División exacta

Una división es exacta cuando el resto es cero.

Ejemplo:

$$ 312 : 13 = 24 $$

porque:

$$ 13 \times 24 = 312 $$

Por tanto:

Como el resto es 0, la división es exacta.

División entera

Una división es entera cuando el resto es distinto de cero.

Ejemplo:

$$ 326 : 13 $$

En esta división:

• El cociente es 25.
• El resto es 1.

Relación entre dividendo, divisor, cociente y resto

Los términos de una división están relacionados entre sí mediante una igualdad muy importante:

$$ \text{Dividendo} = (\text{Divisor} \times \text{Cociente}) + \text{Resto} $$

Por ejemplo, en la división:

tenemos:

• Dividendo: 326
• Divisor: 13
• Cociente: 25
• Resto: 1

Si aplicamos la igualdad anterior:

$$ 326 = (13 \times 25) + 1 $$

$$ 326 = 325 + 1 $$

$$ 326 = 326 $$

La igualdad se cumple, por lo que la división es correcta.

Comprobación de una división

Podemos comprobar una división utilizando la relación entre sus términos.

Por ejemplo:

Multiplicamos el divisor por el cociente:

$$ 13 \times 25 = 325 $$

Después sumamos el resto:

$$ 325 + 1 = 326 $$

Como obtenemos el dividendo, sabemos que la división es correcta.

División como reparto

La división puede interpretarse como un reparto en partes iguales.

Ejemplo:

Tenemos 24 caramelos y queremos repartirlos entre 6 niños.

La operación que debemos realizar es:

$$ 24 : 6 = 4 $$

Cada niño recibirá 4 caramelos.

Podemos representarlo mediante una división:

Cuando utilizamos la división para repartir una cantidad, el cociente indica cuánto recibe cada grupo.

División como agrupamiento

La división también puede utilizarse para formar grupos iguales.

Ejemplo:

Tenemos 24 caramelos y queremos formar grupos de 6 caramelos.

La operación es:

$$ 24 : 6 = 4 $$

Podemos formar 4 grupos.

En este caso el cociente indica cuántos grupos pueden formarse.

División entre una cifra

Cuando el divisor tiene una sola cifra, dividimos cada orden de unidades sucesivamente.

Ejemplo:

Proceso:

• Dividimos las centenas.
• Después dividimos las decenas.
• Finalmente dividimos las unidades.

Resultado:

$$ 987 : 3 = 329 $$

División entre dos cifras

Cuando el divisor tiene dos cifras, debemos estimar cuántas veces cabe el divisor en cada parte del dividendo.

Ejemplo:

Observa que:

• 13 no cabe en 3.
• Tomamos las dos primeras cifras: 32.
• 13 cabe 2 veces en 32.
• Continuamos hasta terminar la división.

Resultado:

$$ 326 : 13 = 25 $$

con resto 1.

División por 10

Dividir por 10 equivale a desplazar todas las cifras una posición hacia la derecha. Cuando el número termina en uno o más ceros, dividir entre 10 equivale a eliminar un cero del final.

Ejemplos:

$$ 250 : 10 = 25 $$

$$ 3\,480 : 10 = 348 $$

División por 100

Dividir por 100 equivale a desplazar todas las cifras dos posiciones hacia la derecha. Cuando el número termina en dos o más ceros, dividir entre 100 equivale a eliminar dos ceros del final.

Ejemplos:

$$ 2\,500 : 100 = 25 $$

$$ 34\,800 : 100 = 348 $$

División por 1 000

Dividir por 1 000 equivale a desplazar todas las cifras tres posiciones hacia la derecha. Cuando el número termina en tres o más ceros, dividir entre 1 000 equivale a eliminar tres ceros del final.

Ejemplos:

$$ 25\,000 : 1\,000 = 25 $$

$$ 348\,000 : 1\,000 = 348 $$

Casos especiales de la división

Dividir entre 1

Cualquier número dividido entre 1 da como resultado el mismo número.

Ejemplos:

$$ 45 : 1 = 45 $$

$$ 1\,250 : 1 = 1\,250 $$

Dividir un número entre sí mismo

Todo número natural distinto de cero dividido entre sí mismo da como resultado 1.

Ejemplos:

$$ 25 : 25 = 1 $$

$$ 1\,000 : 1\,000 = 1 $$

Dividir 0 entre un número

Cero dividido entre cualquier número distinto de cero da como resultado cero.

Ejemplos:

$$ 0 : 5 = 0 $$

$$ 0 : 100 = 0 $$

No se puede dividir entre cero

La división entre cero no está definida.

Por ejemplo:

$$ 25 : 0 $$

no tiene sentido matemático.

Por esta razón nunca podemos utilizar cero como divisor.

Potencias de números naturales

Concepto de potencia

Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales.

Por ejemplo:

$$ 3 \times 3 \times 3 \times 3 $$

puede escribirse de forma más sencilla como:

$$ 3^4 $$

Esta expresión se lee:

tres elevado a cuatro

o también:

tres a la cuarta potencia.

En una potencia distinguimos dos elementos:

$$ 3^4 $$

• 3 es la base.
• 4 es el exponente.

La base indica el número que se multiplica.

El exponente indica cuántas veces se utiliza la base como factor.

Por tanto:

$$ 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 $$

y su resultado es:

$$ 3^4 = 81 $$

Cálculo de potencias

Para calcular una potencia debemos multiplicar la base por sí misma tantas veces como indique el exponente.

Ejemplo 1

$$ 2^5 $$

Desarrollamos la potencia:

$$ 2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 $$

Calculamos:

$$ 2 \times 2 = 4 $$

$$ 4 \times 2 = 8 $$

$$ 8 \times 2 = 16 $$

$$ 16 \times 2 = 32 $$

Resultado:

$$ 2^5 = 32 $$

Ejemplo 2

$$ 5^3 $$

Desarrollamos:

$$ 5^3 = 5 \times 5 \times 5 $$

Calculamos:

$$ 25 \times 5 = 125 $$

Resultado:

$$ 5^3 = 125 $$

Potencias de exponente 2 y 3

Las potencias de exponente 2 y 3 reciben nombres especiales.

Cuadrado de un número

Las potencias de exponente 2 se llaman cuadrados.

Por ejemplo:

$$ 4^2 = 16 $$

se lee:

cuatro al cuadrado

o

cuatro elevado al cuadrado.

Otros ejemplos:

$$ 2^2 = 4 $$

$$ 7^2 = 49 $$

$$ 10^2 = 100 $$

Cubo de un número

Las potencias de exponente 3 se llaman cubos.

Por ejemplo:

$$ 4^3 = 64 $$

se lee:

cuatro al cubo

o

cuatro elevado al cubo.

Otros ejemplos:

$$ 2^3 = 8 $$

$$ 5^3 = 125 $$

$$ 10^3 = 1\,000 $$

Potencias de base 10

Las potencias de base 10 son especialmente importantes porque están relacionadas con nuestro sistema de numeración decimal.

Observa los siguientes ejemplos:

$$ 10^0 = 1 $$

$$ 10^1 = 10 $$

$$ 10^2 = 100 $$

$$ 10^3 = 1\,000 $$

$$ 10^4 = 10\,000 $$

$$ 10^5 = 100\,000 $$

Cada vez que aumentamos una unidad el exponente, añadimos un cero al resultado.

Relación entre potencias de 10 y valor posicional

Las potencias de 10 permiten expresar el valor de cada cifra de un número.

Por ejemplo:

$$ 4\,582 $$

puede escribirse como:

$$ 4 \times 10^3 + 5 \times 10^2 + 8 \times 10^1 + 2 \times 10^0 $$

Comprobamos:

$$ 4 \times 1\,000 + 5 \times 100 + 8 \times 10 + 2 = 4\,582 $$

Esta forma de escribir los números nos ayuda a comprender mejor el sistema decimal.

Potencia de exponente 1

Todo número elevado a 1 es igual a sí mismo.

Ejemplos:

$$ 5^1 = 5 $$

$$ 28^1 = 28 $$

$$ 1\,250^1 = 1\,250 $$

Potencia de exponente 0

Todo número distinto de cero elevado a 0 es igual a 1.

Ejemplos:

$$ 5^0 = 1 $$

$$ 12^0 = 1 $$

$$ 100^0 = 1 $$

Comparación de potencias

Cuando las bases son iguales, la potencia con mayor exponente tiene mayor valor.

Por ejemplo:

$$ 2^5 > 2^3 $$

porque:

$$ 32 > 8 $$

También podemos comparar calculando el valor de cada potencia.

Ejemplo:

$$ 3^4 = 81 $$

$$ 4^3 = 64 $$

Por tanto:

$$ 3^4 > 4^3 $$

Raíz cuadrada

Concepto de raíz cuadrada

La raíz cuadrada es la operación inversa de elevar un número al cuadrado.

Consiste en encontrar el número que, multiplicado por sí mismo, produce una cantidad determinada.

Por ejemplo:

$$ \sqrt{25} $$

significa:

¿Qué número multiplicado por sí mismo da como resultado 25?

Como:

$$ 5 \times 5 = 25 $$

entonces:

$$ \sqrt{25}=5 $$

Relación entre potencia y raíz cuadrada

Las potencias de exponente 2 y las raíces cuadradas son operaciones inversas.

Por ejemplo:

$$ 7^2=49 $$

Por tanto:

$$ \sqrt{49}=7 $$

Observa otro ejemplo:

$$ 12^2=144 $$

Por tanto:

$$ \sqrt{144}=12 $$

Elementos de una raíz cuadrada

En una raíz cuadrada distinguimos varios elementos.

Por ejemplo:

$$ \sqrt{81}=9 $$

• 81 es el radicando.
• √ es el signo radical.
• 9 es la raíz.

Comprobamos el resultado:

$$ 9 \times 9 = 81 $$

Cálculo de raíces cuadradas exactas

Una raíz cuadrada es exacta cuando existe un número natural que, multiplicado por sí mismo, produce exactamente el radicando.

Ejemplos:

$$ \sqrt{1}=1 $$

porque:

$$ 1 \times 1 = 1 $$

$$ \sqrt{16}=4 $$

porque:

$$ 4 \times 4 = 16 $$

$$ \sqrt{64}=8 $$

porque:

$$ 8 \times 8 = 64 $$

$$ \sqrt{100}=10 $$

porque:

$$ 10 \times 10 = 100 $$

Cuadrados perfectos

Los números que son el cuadrado de un número natural reciben el nombre de cuadrados perfectos.

Por ejemplo:

Todos estos números tienen raíz cuadrada exacta.

Raíces cuadradas no exactas

No todos los números tienen una raíz cuadrada exacta.

Por ejemplo:

$$ \sqrt{20} $$

No existe ningún número natural que multiplicado por sí mismo dé exactamente 20.

Observamos que:

$$ 4^2=16 $$

y

$$ 5^2=25 $$

Por tanto:

$$ 16 < 20 < 25 $$

La raíz cuadrada de 20 está entre 4 y 5.

Aproximación de raíces cuadradas no exactas

Cuando una raíz cuadrada no es exacta, podemos aproximar su valor utilizando los cuadrados perfectos más cercanos.

Paso 1. Buscar los cuadrados perfectos entre los que se encuentra el número

Queremos calcular:

$$ \sqrt{70} $$

Buscamos dos cuadrados perfectos consecutivos:

$$ 8^2 = 64 $$

$$ 9^2 = 81 $$

Como:

$$ 64 < 70 < 81 $$

sabemos que:

$$ 8 < \sqrt{70} < 9 $$

Paso 2. Comparar las distancias

Calculamos la distancia hasta cada cuadrado perfecto:

$$ 70 - 64 = 6 $$

$$ 81 - 70 = 11 $$

El número 70 está más cerca de 64 que de 81.

Por tanto:

$$ \sqrt{70} \approx 8 $$

Otro ejemplo

Queremos calcular:

$$ \sqrt{60} $$

Buscamos los cuadrados perfectos más cercanos:

$$ 7^2 = 49 $$

$$ 8^2 = 64 $$

Como:

$$ 49 < 60 < 64 $$

sabemos que:

$$ 7 < \sqrt{60} < 8 $$

Calculamos las distancias:

$$ 60 - 49 = 11 $$

$$ 64 - 60 = 4 $$

Como 60 está más cerca de 64 que de 49:

$$ \sqrt{60} \approx 8 $$

Cálculo de raíces cuadradas por comprobación

Podemos calcular muchas raíces cuadradas buscando qué número multiplicado por sí mismo produce el radicando.

Ejemplo:

$$ \sqrt{625} $$

Probamos con 25:

$$ 25 \times 25 = 625 $$

Por tanto:

$$ \sqrt{625}=25 $$

Otro ejemplo:

$$ \sqrt{144} $$

Probamos con 12:

$$ 12 \times 12 = 144 $$

Por tanto:

$$ \sqrt{144}=12 $$

Casos especiales

Raíz cuadrada de 0

$$ \sqrt{0}=0 $$

porque:

$$ 0 \times 0 = 0 $$

Raíz cuadrada de 1

$$ \sqrt{1}=1 $$

porque:

$$ 1 \times 1 = 1 $$

No existe raíz cuadrada natural de números negativos

Dentro del conjunto de los números naturales no existe ningún número cuyo cuadrado sea negativo.

Por esta razón no podemos calcular, por ejemplo:

$$ \sqrt{-9} $$

utilizando números naturales.

Ampliación: algoritmo para calcular raíces cuadradas

El algoritmo clásico de extracción de raíces cuadradas permite calcular raíces exactas y también obtener cifras decimales cuando la raíz no es exacta.

Aunque actualmente suele utilizarse la calculadora para este tipo de cálculos, conocer este procedimiento ayuda a comprender mejor cómo se obtiene una raíz cuadrada.

Paso 1. Agrupar las cifras de dos en dos

Comenzamos separando las cifras del número en grupos de dos, empezando por la derecha.

Por ejemplo:

$$ 625 \rightarrow 6 \mid 25 $$

Paso 2. Buscar la raíz del primer grupo

Tomamos el primer grupo:

$$ 6 $$

Buscamos el mayor número cuyo cuadrado no supere a 6.

Observamos que:

$$ 2^2=4 $$

y

$$ 3^2=9 $$

Como 9 es mayor que 6, elegimos 2.

Escribimos:

$$ \sqrt{625}=2\_ $$

Restamos:

$$ 6-4=2 $$

Paso 3. Bajar el siguiente grupo

Bajamos el siguiente grupo:

$$ 25 $$

Obtenemos:

$$ 225 $$

Paso 4. Doblar la raíz obtenida

La raíz parcial es:

$$ 2 $$

La duplicamos:

$$ 2 \times 2 = 4 $$

Ahora buscamos una cifra que colocaremos al final del 4 y que, multiplicada por ese nuevo número, produzca un resultado menor o igual que 225.

Probamos:

$$ 45 \times 5 = 225 $$

Funciona exactamente.

Añadimos el 5 a la raíz:

$$ 25 $$

y restamos:

$$ 225-225=0 $$

La operación termina.

Resultado:

$$ \sqrt{625}=25 $$

Comprobación:

$$ 25^2=625 $$

Obtención de decimales

Cuando la raíz no es exacta, podemos seguir calculando cifras decimales.

Por ejemplo:

$$ \sqrt{2} $$

Agrupamos:

$$ 2 $$

Buscamos el mayor cuadrado que no supere a 2:

$$ 1^2=1 $$

Escribimos:

$$ \sqrt{2}=1\_ $$

y obtenemos un resto:

$$ 2-1=1 $$

Ahora añadimos pares de ceros:

$$ 100 $$

Duplicamos la raíz obtenida:

$$ 1 \times 2 = 2 $$

Buscamos una cifra que cumpla:

$$ 24 \times 4 = 96 $$

Añadimos el 4 a la raíz:

$$ \sqrt{2}\approx 1,4 $$

Queda un resto:

$$ 100-96=4 $$

Podemos seguir añadiendo pares de ceros para obtener más cifras decimales.

Continuando el proceso se obtiene:

$$ \sqrt{2}\approx 1,41421356\ldots $$

Este procedimiento puede repetirse tantas veces como sea necesario para obtener la precisión deseada.

Operaciones combinadas

Concepto de operaciones combinadas

Las operaciones combinadas son expresiones en las que aparecen varias operaciones matemáticas al mismo tiempo.

Por ejemplo:

$$ 8 + 3 \times 4 $$

o

$$ (8 + 3) \times 4 $$

Para obtener siempre el mismo resultado debemos seguir unas reglas llamadas jerarquía de operaciones.

Jerarquía de operaciones

Cuando resolvemos operaciones combinadas debemos seguir este orden:

1. Paréntesis.
2. Potencias y raíces.
3. Multiplicaciones y divisiones.
4. Sumas y restas.

Si varias operaciones tienen la misma prioridad, se resuelven de izquierda a derecha.

Operaciones combinadas sin paréntesis

Cuando no hay paréntesis debemos respetar la jerarquía de operaciones.

Ejemplo:

$$ 8 + 3 \times 4 $$

Primero realizamos la multiplicación:

$$ 3 \times 4 = 12 $$

La expresión queda:

$$ 8 + 12 $$

Finalmente:

$$ 8 + 12 = 20 $$

Resultado:

$$ 8 + 3 \times 4 = 20 $$

Multiplicaciones y divisiones

Las multiplicaciones y divisiones tienen la misma prioridad.

Por tanto, se realizan de izquierda a derecha.

Ejemplo:

$$ 24 : 3 \times 2 $$

Primero:

$$ 24 : 3 = 8 $$

Después:

$$ 8 \times 2 = 16 $$

Resultado:

$$ 24 : 3 \times 2 = 16 $$

Sumas y restas

Las sumas y restas también tienen la misma prioridad.

Se realizan de izquierda a derecha.

Ejemplo:

$$ 15 - 4 + 7 $$

Primero:

$$ 15 - 4 = 11 $$

Después:

$$ 11 + 7 = 18 $$

Resultado:

$$ 15 - 4 + 7 = 18 $$

Operaciones combinadas con paréntesis

Los paréntesis tienen la máxima prioridad.

Siempre deben resolverse antes que el resto de operaciones.

Ejemplo:

$$ (8 + 3) \times 4 $$

Primero resolvemos el paréntesis:

$$ 8 + 3 = 11 $$

La expresión queda:

$$ 11 \times 4 $$

Finalmente:

$$ 11 \times 4 = 44 $$

Resultado:

$$ (8 + 3) \times 4 = 44 $$

Observa la diferencia con:

$$ 8 + 3 \times 4 = 20 $$

Los paréntesis cambian completamente el resultado.

Operaciones combinadas con potencias

Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, divisiones, sumas y restas.

Ejemplo:

$$ 2 + 3^2 $$

Primero calculamos la potencia:

$$ 3^2 = 9 $$

La expresión queda:

$$ 2 + 9 $$

Resultado:

$$ 2 + 9 = 11 $$

Operaciones combinadas con raíces cuadradas

Las raíces cuadradas tienen la misma prioridad que las potencias.

Ejemplo:

$$ \sqrt{64} + 5 $$

Primero calculamos la raíz:

$$ \sqrt{64}=8 $$

La expresión queda:

$$ 8 + 5 $$

Resultado:

$$ 8 + 5 = 13 $$

Operaciones combinadas completas

Ejemplo:

$$ (12 - 4) \times 2 + 3^2 $$

Paso 1. Resolver el paréntesis:

$$ 12 - 4 = 8 $$

La expresión queda:

$$ 8 \times 2 + 3^2 $$

Paso 2. Resolver la potencia:

$$ 3^2 = 9 $$

La expresión queda:

$$ 8 \times 2 + 9 $$

Paso 3. Resolver la multiplicación:

$$ 8 \times 2 = 16 $$

La expresión queda:

$$ 16 + 9 $$

Paso 4. Resolver la suma:

$$ 16 + 9 = 25 $$

Resultado:

$$ (12 - 4) \times 2 + 3^2 = 25 $$

Errores frecuentes

Error 1. Resolver de izquierda a derecha sin respetar la jerarquía

Expresión:

$$ 8 + 3 \times 4 $$

Incorrecto:

$$ 8 + 3 = 11 $$

$$ 11 \times 4 = 44 $$

Correcto:

$$ 3 \times 4 = 12 $$

$$ 8 + 12 = 20 $$

Error 2. Olvidar los paréntesis

Expresión:

$$ (15 - 5) \times 3 $$

Primero debemos resolver el paréntesis:

$$ 15 - 5 = 10 $$

Después:

$$ 10 \times 3 = 30 $$

Error 3. Olvidar las potencias

Expresión:

$$ 4 + 2^3 $$

Primero:

$$ 2^3 = 8 $$

Después:

$$ 4 + 8 = 12 $$

Cálculo mental y estimación

¿Qué es el cálculo mental?

El cálculo mental consiste en realizar operaciones sin utilizar lápiz, papel ni calculadora.

Para ello aprovechamos propiedades de los números y realizamos transformaciones que simplifican los cálculos.

El cálculo mental permite:

• Resolver operaciones rápidamente.
• Comprobar resultados.
• Detectar errores.
• Desarrollar la agilidad matemática.

Estrategias para sumar mentalmente

Completar decenas o centenas

A menudo resulta más sencillo completar una decena o una centena.

Ejemplo:

$$ 38 + 7 $$

Podemos pensar:

$$ 38 + 2 = 40 $$

y todavía faltan:

$$ 7 - 2 = 5 $$

Entonces:

$$ 40 + 5 = 45 $$

Resultado:

$$ 38 + 7 = 45 $$

Descomponer un número

Ejemplo:

$$ 56 + 28 $$

Descomponemos:

$$ 28 = 20 + 8 $$

Calculamos:

$$ 56 + 20 = 76 $$

$$ 76 + 8 = 84 $$

Resultado:

$$ 56 + 28 = 84 $$

Estrategias para restar mentalmente

Restar por partes

Ejemplo:

$$ 83 - 27 $$

Descomponemos:

$$ 27 = 20 + 7 $$

Calculamos:

$$ 83 - 20 = 63 $$

$$ 63 - 7 = 56 $$

Resultado:

$$ 83 - 27 = 56 $$

Completar hasta llegar al número mayor

Ejemplo:

$$ 100 - 98 $$

Pensamos:

De 98 a 100 faltan 2.

Por tanto:

$$ 100 - 98 = 2 $$

Estrategias para multiplicar mentalmente

Multiplicar por 10, 100 y 1 000

Al multiplicar por una potencia de diez añadimos ceros al final.

Ejemplos:

$$ 24 \times 10 = 240 $$

$$ 24 \times 100 = 2\,400 $$

$$ 24 \times 1\,000 = 24\,000 $$

Utilizar la propiedad distributiva

Ejemplo:

$$ 24 \times 5 $$

Descomponemos:

$$ 24 = 20 + 4 $$

Calculamos:

$$ 20 \times 5 = 100 $$

$$ 4 \times 5 = 20 $$

Sumamos:

$$ 100 + 20 = 120 $$

Resultado:

$$ 24 \times 5 = 120 $$

Doblar y dividir

Ejemplo:

$$ 25 \times 16 $$

Podemos doblar 25 y dividir 16 entre 2:

$$ 50 \times 8 $$

Volvemos a hacerlo:

$$ 100 \times 4 $$

Resultado:

$$ 100 \times 4 = 400 $$

Por tanto:

$$ 25 \times 16 = 400 $$

Estrategias para dividir mentalmente

Dividir entre 10, 100 y 1 000

Al dividir entre una potencia de diez eliminamos ceros del final si los hay.

Ejemplos:

$$ 240 \div 10 = 24 $$

$$ 2\,400 \div 100 = 24 $$

$$ 24\,000 \div 1\,000 = 24 $$

Utilizar las tablas de multiplicar

Ejemplo:

$$ 72 \div 8 $$

Pensamos:

¿Qué número multiplicado por 8 da 72?

$$ 8 \times 9 = 72 $$

Por tanto:

$$ 72 \div 8 = 9 $$

Estimación de resultados

La estimación consiste en obtener un resultado aproximado antes de realizar el cálculo exacto.

Sirve para comprobar rápidamente si un resultado parece razonable.

Estimación de una suma

Ejemplo:

$$ 198 + 304 $$

Redondeamos:

$$ 198 \approx 200 $$

$$ 304 \approx 300 $$

Entonces:

$$ 200 + 300 = 500 $$

La suma exacta es:

$$ 198 + 304 = 502 $$

La estimación es muy cercana al resultado real.

Estimación de una resta

Ejemplo:

$$ 4\,985 - 1\,992 $$

Redondeamos:

$$ 5\,000 - 2\,000 = 3\,000 $$

Resultado estimado:

$$ \approx 3\,000 $$

Resultado exacto:

$$ 2\,993 $$

Estimación de una multiplicación

Ejemplo:

$$ 49 \times 21 $$

Redondeamos:

$$ 50 \times 20 $$

Calculamos:

$$ 50 \times 20 = 1\,000 $$

Resultado estimado:

$$ \approx 1\,000 $$

Resultado exacto:

$$ 49 \times 21 = 1\,029 $$

Estimación de una división

Ejemplo:

$$ 598 \div 29 $$

Redondeamos:

$$ 600 \div 30 $$

Calculamos:

$$ 600 \div 30 = 20 $$

Resultado estimado:

$$ \approx 20 $$

Resultado exacto:

$$ 598 \div 29 \approx 20,62 $$

Comprobación de la razonabilidad de un resultado

Después de realizar un cálculo es recomendable preguntarse:

• ¿Tiene sentido el resultado?
• ¿Está cerca de la estimación realizada?
• ¿Es demasiado grande o demasiado pequeño?

Por ejemplo:

Si calculamos:

$$ 49 \times 21 $$

y obtenemos:

$$ 10\,290 $$

sabemos inmediatamente que existe un error porque la estimación era aproximadamente:

$$ 50 \times 20 = 1\,000 $$

El resultado correcto debe estar cerca de 1 000 y no de 10 000.

La estimación es una herramienta muy útil para detectar errores de cálculo.

Resolución de problemas

Cómo resolver un problema matemático

Para resolver correctamente un problema conviene seguir siempre los mismos pasos.

Paso 1. Leer el problema con atención

Debemos comprender qué información nos proporciona el enunciado.

Paso 2. Identificar los datos

Conviene localizar los números y la información importante.

Paso 3. Identificar la pregunta

Debemos saber exactamente qué nos pide calcular el problema.

Paso 4. Elegir la operación adecuada

Según la situación, utilizaremos una suma, una resta, una multiplicación, una división o varias operaciones combinadas.

Paso 5. Realizar los cálculos

Calculamos con cuidado siguiendo los procedimientos adecuados.

Paso 6. Comprobar el resultado

Es recomendable estimar el resultado y comprobar que tiene sentido.

Paso 7. Escribir la respuesta completa

La respuesta debe expresarse mediante una frase completa.

Problema resuelto con una suma

En una biblioteca hay 1 248 libros de lectura y 875 libros de consulta.

¿Cuántos libros hay en total?

Datos

• Libros de lectura: 1 248
• Libros de consulta: 875

Operación

Cálculo

$$ 1248 + 875 = 2123 $$

Respuesta

En la biblioteca hay 2 123 libros en total.

Problema resuelto con una resta

Un depósito contiene 5 000 litros de agua.

Se utilizan 1 875 litros.

¿Cuántos litros quedan?

Datos

• Agua inicial: 5 000 litros
• Agua utilizada: 1 875 litros

Operación

Cálculo

$$ 5000 - 1875 = 3125 $$

Respuesta

Quedan 3 125 litros de agua.

Problema resuelto con una multiplicación

Una fábrica empaqueta 245 cajas.

Cada caja contiene 24 botellas.

¿Cuántas botellas se empaquetan en total?

Datos

• Número de cajas: 245
• Botellas por caja: 24

Operación

Cálculo

$$ 245 \times 24 = 5880 $$

Respuesta

Se empaquetan 5 880 botellas.

Problema resuelto con una división

Una cooperativa reparte 2 436 kilogramos de fruta en cajas de 12 kilogramos cada una.

¿Cuántas cajas puede llenar?

Datos

• Fruta disponible: 2 436 kg
• Capacidad de cada caja: 12 kg

Operación

Cálculo

$$ 2436 \div 12 = 203 $$

Respuesta

La cooperativa puede llenar 203 cajas.

Problema resuelto con varias operaciones

Un colegio organiza una excursión.

Participan 125 alumnos y cada alumno paga 18 euros.

El autobús cuesta 1 250 euros.

¿Cuánto dinero sobra después de pagar el autobús?

Paso 1. Calcular el dinero recaudado

$$ 125 \times 18 = 2250 $$

Paso 2. Restar el coste del autobús

$$ 2250 - 1250 = 1000 $$

Respuesta

Después de pagar el autobús sobran 1 000 euros.

Comprobación de resultados

Antes de dar una respuesta conviene preguntarse:

• ¿He utilizado la operación correcta?
• ¿El resultado tiene sentido?
• ¿Se parece a la estimación que había realizado?

Comprobar el resultado ayuda a detectar errores y aumenta la seguridad en los cálculos.