Bloque I. Sentido numérico
Números enteros
Los números enteros
El conjunto de los números enteros $\mathbb{Z}$
Los números naturales nos permiten contar objetos y ordenar elementos, pero existen situaciones en las que necesitamos representar cantidades menores que cero.
Por ejemplo:
- Temperaturas bajo cero.
- Plantas de un edificio situadas bajo el nivel de la calle.
- Profundidades bajo el nivel del mar.
- Pérdidas económicas.
Para representar estas cantidades utilizamos los números enteros.
El conjunto de los números enteros se representa mediante la letra $\mathbb{Z}$:
$$ \mathbb{Z} = \{\ldots, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, \ldots\} $$
Los números enteros incluyen:
- Los números negativos.
- El cero.
- Los números naturales.
Por esta razón, todos los números naturales forman parte del conjunto de los números enteros:
$$ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} $$
Los números enteros son infinitos, ya que podemos seguir contando indefinidamente tanto hacia los números positivos como hacia los números negativos.
Números positivos, negativos y cero
Los números enteros pueden clasificarse en tres grupos.
| Tipo | Ejemplos |
|---|---|
| Números negativos | $-5$, $-3$, $-1$ |
| Cero | $0$ |
| Números positivos | $1$, $4$, $12$ |
Los números positivos pueden escribirse con el signo $+$ delante, aunque normalmente no se escribe.
Por ejemplo:
- $+5$ y $5$ representan el mismo número.
- $+12$ y $12$ representan el mismo número.
En cambio, los números negativos siempre deben llevar el signo $-$.
Ejemplos:
- $-2$
- $-15$
- $-100$
El número 0 no es positivo ni negativo.
Ejemplo
Clasifica los siguientes números:
$$ -7,\quad 0,\quad 12,\quad -3,\quad 5 $$
Negativos:
$$ -7,\quad -3 $$
Cero:
$$ 0 $$
Positivos:
$$ 12,\quad 5 $$
Situaciones de la vida cotidiana con números enteros
Los números enteros aparecen con frecuencia en situaciones reales.
Temperaturas
Si la temperatura exterior es de cinco grados bajo cero, escribimos:
$$ -5\,^\circ\text{C} $$
Si la temperatura es de ocho grados sobre cero, escribimos:
$$ 8\,^\circ\text{C} $$
Altitud
Las alturas sobre el nivel del mar se representan con números positivos.
Por ejemplo:
$$ 850\ \text{m} $$
Las profundidades bajo el nivel del mar se representan con números negativos.
Por ejemplo:
$$ -30\ \text{m} $$
Plantas de un edificio
En muchos edificios:
- La planta baja se representa con 0.
- Las plantas superiores utilizan números positivos.
- Los sótanos utilizan números negativos.
Por ejemplo:
| Planta | Número entero |
|---|---|
| Segundo sótano | $-2$ |
| Primer sótano | $-1$ |
| Planta baja | $0$ |
| Primera planta | $1$ |
| Segunda planta | $2$ |
Ganancias y pérdidas
En economía también se utilizan números enteros.
- Una ganancia de 50 € puede representarse mediante $+50$.
- Una pérdida de 50 € puede representarse mediante $-50$.
Recuerda
Los números enteros permiten representar cantidades situadas por encima y por debajo de un valor de referencia.
Por eso se utilizan para expresar:
- Temperaturas.
- Altitudes y profundidades.
- Plantas de edificios.
- Ganancias y pérdidas.
Representación en la recta numérica
La recta numérica con números enteros
Los números enteros pueden representarse sobre una recta numérica.
En ella:
- El número 0 ocupa una posición central.
- Los números positivos se sitúan a la derecha del 0.
- Los números negativos se sitúan a la izquierda del 0.
Observa que:
- $3$ está tres unidades a la derecha del 0.
- $-3$ está tres unidades a la izquierda del 0.
- Cuanto más nos desplazamos hacia la derecha, mayores son los números.
- Cuanto más nos desplazamos hacia la izquierda, menores son los números.
La recta numérica nos permite comparar y ordenar fácilmente los números enteros.
Números opuestos
Dos números son opuestos cuando tienen el mismo valor absoluto pero signos contrarios.
Por ejemplo:
- El opuesto de $5$ es $-5$.
- El opuesto de $12$ es $-12$.
- El opuesto de $-8$ es $8$.
Los números opuestos siempre están a la misma distancia del 0, pero en lados contrarios de la recta numérica.
Observa los siguientes pares de números opuestos:
| Número | Opuesto |
|---|---|
| $3$ | $-3$ |
| $7$ | $-7$ |
| $-4$ | $4$ |
| $-10$ | $10$ |
El único número que coincide con su propio opuesto es el cero:
$$ 0 = -0 $$
Distancia al cero
La distancia entre un número entero y el 0 se mide contando cuántas unidades los separan.
Por ejemplo:
- El número $4$ está a 4 unidades del 0.
- El número $-4$ también está a 4 unidades del 0.
Observa:
| Número | Distancia al 0 |
|---|---|
| $2$ | 2 |
| $-2$ | 2 |
| $5$ | 5 |
| $-5$ | 5 |
Aunque los números tengan distinto signo, pueden encontrarse a la misma distancia del cero.
Ejemplo
Observa los números:
$$ -6,\quad -2,\quad 0,\quad 3,\quad 7 $$
- El más alejado del 0 es $7$.
- El más cercano al 0 es $0$.
- $-2$ está a 2 unidades del 0.
- $3$ está a 3 unidades del 0.
La recta numérica permite visualizar fácilmente estas distancias.
Comparación y ordenación de números enteros
Comparación de números enteros
Comparar números enteros consiste en determinar cuál es mayor y cuál es menor.
Para ello podemos utilizar la recta numérica.
En una recta numérica:
- Los números situados más a la derecha son mayores.
- Los números situados más a la izquierda son menores.
Por ejemplo:
$$ 3 > -2 $$
porque 3 está a la derecha de −2.
También:
$$ -1 > -4 $$
porque −1 está a la derecha de −4.
Observa que entre dos números negativos, el mayor es el que está más cerca del cero.
Por ejemplo:
$$ -3 > -8 $$
aunque 8 sea mayor que 3.
Orden creciente y decreciente
Ordenar números enteros consiste en colocarlos siguiendo un orden determinado.
Orden creciente
Se colocan de menor a mayor.
Ejemplo:
$$ -5,\quad -2,\quad 0,\quad 3,\quad 7 $$
Observa que cada número es mayor que el anterior.
Podemos escribir:
$$ -5 < -2 < 0 < 3 < 7 $$
Orden decreciente
Se colocan de mayor a menor.
Ejemplo:
$$ 7,\quad 3,\quad 0,\quad -2,\quad -5 $$
Podemos escribir:
$$ 7 > 3 > 0 > -2 > -5 $$
Ejemplo
Ordena de menor a mayor:
$$ 4,\quad -3,\quad 0,\quad -7,\quad 2 $$
Situamos mentalmente los números en la recta numérica:
$$ -7 < -3 < 0 < 2 < 4 $$
Por tanto, el orden creciente es:
$$ -7,\quad -3,\quad 0,\quad 2,\quad 4 $$
Valor absoluto
Qué es el valor absoluto
El valor absoluto de un número entero es la distancia que lo separa del 0 en la recta numérica.
Se representa colocando el número entre dos barras verticales:
$$ |a| $$
El valor absoluto siempre es un número positivo o cero.
Por ejemplo:
$$ |5| = 5 $$
porque el número 5 está a 5 unidades del 0.
También:
$$ |-5| = 5 $$
porque el número −5 también está a 5 unidades del 0.
Observa que los signos no influyen en el valor absoluto, ya que únicamente nos interesa la distancia al cero.
Valor absoluto y distancia al cero
La siguiente tabla muestra algunos ejemplos:
| Número | Valor absoluto |
|---|---|
| $0$ | $0$ |
| $2$ | $2$ |
| $-2$ | $2$ |
| $5$ | $5$ |
| $-5$ | $5$ |
| $12$ | $12$ |
| $-12$ | $12$ |
Dos números opuestos siempre tienen el mismo valor absoluto.
Por ejemplo:
$$ |7| = 7 $$
y
$$ |-7| = 7 $$
porque ambos se encuentran a 7 unidades del cero.
Ejemplo
Calcula los siguientes valores absolutos:
$$ |-3|,\quad |8|,\quad |-10|,\quad |0| $$
Solución:
$$ |-3| = 3 $$
$$ |8| = 8 $$
$$ |-10| = 10 $$
$$ |0| = 0 $$
Por tanto:
$$ 3,\quad 8,\quad 10,\quad 0 $$
Importante
El valor absoluto indica una distancia.
Por esta razón nunca puede ser negativo.
Suma de números enteros
Suma de enteros con el mismo signo
Cuando sumamos dos números enteros con el mismo signo:
- Sumamos sus valores absolutos.
- Conservamos el signo común.
Ejemplos:
$$ (+3)+(+5)=+8 $$
$$ (-2)+(-4)=-6 $$
$$ (-7)+(-3)=-10 $$
Ejemplo
Calcula:
$$ (-8)+(-5) $$
Sumamos los valores absolutos:
$$ 8+5=13 $$
Como ambos números son negativos, el resultado también es negativo:
$$ (-8)+(-5)=-13 $$
Suma de enteros con distinto signo
Cuando los números tienen distinto signo:
- Restamos los valores absolutos.
- Conservamos el signo del número que tenga mayor valor absoluto.
Ejemplos:
$$ (+8)+(-3)=+5 $$
porque:
$$ 8-3=5 $$
y el número con mayor valor absoluto es 8, que es positivo.
Otro ejemplo:
$$ (-9)+(+4)=-5 $$
porque:
$$ 9-4=5 $$
y el número con mayor valor absoluto es 9, que es negativo.
Ejemplo
Calcula:
$$ (-12)+(+7) $$
Restamos los valores absolutos:
$$ 12-7=5 $$
Como el mayor valor absoluto es 12 y corresponde a un número negativo:
$$ (-12)+(+7)=-5 $$
Resta de números enteros
Restar un número entero
La resta de números enteros puede transformarse en una suma.
Para ello utilizamos la siguiente regla:
$$ a-b=a+(-b) $$
Es decir:
Restar un número equivale a sumar su opuesto.
Por ejemplo:
$$ 5-3=5+(-3) $$
y
$$ -4-2=-4+(-2) $$
También:
$$ 7-(-2)=7+(+2) $$
Observa que al restar un número negativo, el resultado se convierte en una suma.
Suma del opuesto
Para resolver una resta:
- Sustituimos la resta por una suma.
- Cambiamos el signo del segundo número.
- Aplicamos las reglas de la suma de enteros.
Ejemplo:
$$ 8-5 $$
Se transforma en:
$$ 8+(-5) $$
Calculamos:
$$ 8+(-5)=3 $$
Otro ejemplo:
$$ -6-4 $$
Se transforma en:
$$ -6+(-4) $$
Calculamos:
$$ -6+(-4)=-10 $$
Y un tercer ejemplo:
$$ 3-(-7) $$
Se transforma en:
$$ 3+(+7) $$
Calculamos:
$$ 3+7=10 $$
Ejemplo
Calcula:
$$ -8-(-5) $$
Transformamos la resta en suma:
$$ -8+(+5) $$
Los números tienen distinto signo.
Restamos los valores absolutos:
$$ 8-5=3 $$
El mayor valor absoluto es 8 y corresponde a un número negativo.
Por tanto:
$$ -8-(-5)=-3 $$
Importante
Al restar un número negativo, los dos signos se convierten en un signo positivo.
$$ a-(-b)=a+b $$
Por ejemplo:
$$ 6-(-4)=6+4=10 $$
Multiplicación y división de números enteros
Multiplicación de números enteros
Para multiplicar números enteros:
- Multiplicamos los valores absolutos.
- Determinamos el signo del resultado utilizando la regla de los signos.
La regla de los signos es:
| Signo del primer número | Signo del segundo número | Signo del resultado |
|---|---|---|
| $+$ | $+$ | $+$ |
| $+$ | $-$ | $-$ |
| $-$ | $+$ | $-$ |
| $-$ | $-$ | $+$ |
Ejemplos:
$$ (+3)\times(+4)=+12 $$
$$ (+3)\times(-4)=-12 $$
$$ (-3)\times(+4)=-12 $$
$$ (-3)\times(-4)=+12 $$
Ejemplo
Calcula:
$$ (-6)\times(-5) $$
Multiplicamos los valores absolutos:
$$ 6\times5=30 $$
Como los dos números tienen signo negativo, el resultado es positivo:
$$ (-6)\times(-5)=30 $$
División de números enteros
La división sigue exactamente la misma regla de los signos que la multiplicación.
| Signo del dividendo | Signo del divisor | Signo del resultado |
|---|---|---|
| $+$ | $+$ | $+$ |
| $+$ | $-$ | $-$ |
| $-$ | $+$ | $-$ |
| $-$ | $-$ | $+$ |
Ejemplos:
$$ (+20)\div(+4)=+5 $$
$$ (+20)\div(-4)=-5 $$
$$ (-20)\div(+4)=-5 $$
$$ (-20)\div(-4)=+5 $$
Ejemplo
Calcula:
$$ (-42)\div(-6) $$
Dividimos los valores absolutos:
$$ 42\div6=7 $$
Como los dos números tienen el mismo signo, el resultado es positivo:
$$ (-42)\div(-6)=7 $$
Regla de los signos
Podemos resumir la regla de los signos de la siguiente manera:
- Signos iguales → resultado positivo.
- Signos distintos → resultado negativo.
Esta regla sirve tanto para la multiplicación como para la división.
| Operación | Resultado |
|---|---|
| $+\times+$ | $+$ |
| $-\times-$ | $+$ |
| $+\times-$ | $-$ |
| $-\times+$ | $-$ |
Y exactamente igual para la división.
Recuerda
Para multiplicar o dividir números enteros:
- Opera con los valores absolutos.
- Aplica la regla de los signos.
Signos iguales:
$$ +\quad\text{y}\quad+ \qquad\text{o}\qquad -\quad\text{y}\quad- $$
Resultado positivo.
Signos distintos:
$$ +\quad\text{y}\quad- \qquad\text{o}\qquad -\quad\text{y}\quad+ $$
Resultado negativo.
Operaciones combinadas con números enteros
Jerarquía de operaciones
Cuando una expresión contiene varias operaciones, debemos respetar la jerarquía de operaciones.
El orden es el siguiente:
- Paréntesis.
- Multiplicaciones y divisiones.
- Sumas y restas.
Ejemplo:
$$ 3+(-2)\times4 $$
Primero realizamos la multiplicación:
$$ (-2)\times4=-8 $$
Después realizamos la suma:
$$ 3+(-8)=-5 $$
Por tanto:
$$ 3+(-2)\times4=-5 $$
Uso de paréntesis
Los paréntesis indican qué operaciones deben realizarse primero.
Ejemplo:
$$ (3+(-2))\times4 $$
Primero resolvemos el paréntesis:
$$ 3+(-2)=1 $$
Después multiplicamos:
$$ 1\times4=4 $$
Por tanto:
$$ (3+(-2))\times4=4 $$
Observa que el resultado es diferente al ejemplo anterior.
Ejemplo
Calcula:
$$ (-5)+3\times(-2) $$
Primero realizamos la multiplicación:
$$ 3\times(-2)=-6 $$
Después realizamos la suma:
$$ (-5)+(-6)=-11 $$
Resultado:
$$ -11 $$
Ejemplo
Calcula:
$$ (-8)-(-3)\times2 $$
Primero realizamos la multiplicación:
$$ (-3)\times2=-6 $$
Sustituimos:
$$ (-8)-(-6) $$
Transformamos la resta en suma:
$$ (-8)+6 $$
Restamos los valores absolutos:
$$ 8-6=2 $$
Como el mayor valor absoluto corresponde a −8:
$$ (-8)+6=-2 $$
Resultado:
$$ -2 $$